Matrice associata
ci sarebbe qualcuno che potrebbe spiegarmi in cosa consiste la matrice associata?
Risposte
matrice associata a cosa?
si scusa, associata a un'applicazione lineare
mi spiego meglio: ho trovato questo esercizio
ho un'applicazione lineare f da $R^3$ in $R^2$ data da $f((x),(y),(z))=((2x+2z),(x-y))$
la matrice A che rappresenta f data da $A=((2 0 2);(1 -1 0))$
e le basi $B=[((1),(0),(1)); ((0),(2),(0)); ((1),(0),(-1))]$ e $C=[((1),(1));((2),(3))]$
e devo trovare la matrice associata all'applicazione f
ora trovo f in funzione degli elementi della base b
e ottengo $f((1),(0),(1))=((4),(1))$ e faccio questo per tutti gli altri
ora il libro mi dice che $f((1),(0),(1))=((4),(1))=10((1),(1))-3((2),(3))$ ecco non riesco a capire questo ultimo passaggio
mi spiego meglio: ho trovato questo esercizio
ho un'applicazione lineare f da $R^3$ in $R^2$ data da $f((x),(y),(z))=((2x+2z),(x-y))$
la matrice A che rappresenta f data da $A=((2 0 2);(1 -1 0))$
e le basi $B=[((1),(0),(1)); ((0),(2),(0)); ((1),(0),(-1))]$ e $C=[((1),(1));((2),(3))]$
e devo trovare la matrice associata all'applicazione f
ora trovo f in funzione degli elementi della base b
e ottengo $f((1),(0),(1))=((4),(1))$ e faccio questo per tutti gli altri
ora il libro mi dice che $f((1),(0),(1))=((4),(1))=10((1),(1))-3((2),(3))$ ecco non riesco a capire questo ultimo passaggio
È la matrice della trasformazione lineare. Facciamo un paio d'esempi:
$f: R->R$ con $f(x)=7x$ in questo caso il $7$ è la tua matrice della trasformazione lineare, è una matrice $1x1$, e più precisamente il $7$ è l'immagine del vettore di base dello spazio di partenza: $f(e_1)=v_1=7$ (in questo caso).
Altro esempio:
$f:R^2->R^3$ con $f(x)=((x+2y),(3x-4y),(7x+5y))$ allora la matrice sarà $3x2$ cioè: $((1,2),(3,-4),(7,5))$
Le colonne di questa matrice sono le componenti dell'immagine dei due vettori di base.
Penso che il modo migliore di capire queste cose sia con degli esempi facili, al di là di tutte le definizioni che si possono dare.
Ciao.
$f: R->R$ con $f(x)=7x$ in questo caso il $7$ è la tua matrice della trasformazione lineare, è una matrice $1x1$, e più precisamente il $7$ è l'immagine del vettore di base dello spazio di partenza: $f(e_1)=v_1=7$ (in questo caso).
Altro esempio:
$f:R^2->R^3$ con $f(x)=((x+2y),(3x-4y),(7x+5y))$ allora la matrice sarà $3x2$ cioè: $((1,2),(3,-4),(7,5))$
Le colonne di questa matrice sono le componenti dell'immagine dei due vettori di base.
Penso che il modo migliore di capire queste cose sia con degli esempi facili, al di là di tutte le definizioni che si possono dare.
Ciao.
cosi semplice?? è quella formata dai coefficienti in questo caso delle x y z ? 
"Kobra":
ora il libro mi dice che $f((1),(0),(1))=((4),(1))=10((1),(1))-3((2),(3))$ ecco non riesco a capire questo ultimo passaggio
stai esprimendo l'immagine degli elementi della base $B$, nella base $C$:
cioè, per il primo vettore di $B$ hai: $ABe^1=Cy$, e i coefficienti $10$ e $-3$ che hai trovato, sono i coefficienti del vettore $y=C^{-1}ABe^1$.
L'applicazione $f$, la esprimi quindi, attraverso le basi $B$ e $C$, come $C^{-1}AB$.
(la esprimi con $A$ quando ti riferisci alle basi canoniche $e^1,...,e^3$.)
si ma come faccio a trovare i coefficienti 10 e -3?
"Kobra":
si ma come faccio a trovare i coefficienti 10 e -3?
"leev":
i coefficienti $10$ e $-3$ che hai trovato, sono i coefficienti del vettore $y=C^{-1}ABe^1$.
oppure
risolvi il sistema
$((4),(1))=x((1),(1)) + y ((2),(3))$
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