Matrice Associata

[kika_17]

Per favore qualcuno sa come risolvere questo esercizio?

Sia V uno spazio vettoriale su $RR$ di dimensione 3.
Sia B={v1,v2,v3} una base di V.
Sia f un'applicazione lineare biettiva di V tale che:
f(v1)=(v1),
f(v2)=2v2+v3,
f^(-1) (3v3)= 2v3-v2

Trovare la matrice A associata ad f rispetto alla base B in partenza e in arrivo.
___

Allora, la matrice A ha per prima colonna (1,0,0) e seconda (0,2,1) giusto? ma come faccio a trovare la terza dato che ho f^(-1) (3v3) ????

Grazie =)

[Silente]

Chi sono quei 3? La base canonica?
In ogni caso devi solo trovare una strada per scrivere i risultati di: \(\displaystyle T(v_1) \) \(\displaystyle T(v_2) \) \(\displaystyle T(v_3) \).

[giovirota]

l ' applicazione è biiettiva, pertanto se: f^(-1) (3v3)=2v3-v2 allora è anche: f(2v3-v2)=3v3.
sviluppiamo quest'ultima eguaglianza:
2f(v3) - f(v2) = 3v3 (per linearità)
2f(v3) = 3v3 + f(v2) (sappiamo che: f(v2)=2v2+v3)
2f(v3) = 3v3 + 2v2 + v3 = 2v2 + 4v3
conclusione: f(v3) = v2 + 2v3
abbiamo la terza colonna della matrice: (0,1,2)

[kika_17]

Ho capito, grazie mille giovirota!!!