Matrice associata
nel mio libro di geometria ed algebra lineare per introdurre le applicazioni lineari si fa questo esempio:
sia T l'applicazione che va dallo spazio vettoriale dei polinomi di grado 2, R2(t), in sè tale che : T(p(t))=p(t+1).
ad esempio T(t^2)=(t+1)^2=t^2+1+2t; ora essendo T un'applicazione lineare dovrebbe avere una matrice associata, ma non riesco proprio a determinarla, chiedo quindi aiuto, grazie.
sia T l'applicazione che va dallo spazio vettoriale dei polinomi di grado 2, R2(t), in sè tale che : T(p(t))=p(t+1).
ad esempio T(t^2)=(t+1)^2=t^2+1+2t; ora essendo T un'applicazione lineare dovrebbe avere una matrice associata, ma non riesco proprio a determinarla, chiedo quindi aiuto, grazie.
Risposte
Ti espongo un metodo che ho più volte utilizzato sul Forum. Il metodo è quello di sostituire al generico
polinomio $a+bt+ct^2$ ( ordinato secondo le potenze crescenti della indeterminata t) il vettore ordinato dei suoi coefficienti :
$a+bt+ct^2->((a),(b),(c))$
Questa corrispondenza è un isomorfismo e quindi lascia invariate le proprietà fondamentali dei polinomi in questione quando da essi si passa ai corrispondenti coefficienti. In virtù di tale isomorfismo si ha :
$T(x+yt+zt^2)=T((x),(y),(z))$
Ma in base alla legge indicata nella consegna segue che :
$T(x+yt+zt^2)=x+y(t+1)+z(t+1)^2=(x+y+z)+(y+2z)t+zt^2-> ((x+y+z),(y+2z),(z))$
e dunque :
$T((x),(y),(z))=((x+y+z),(y+2z),(z))$
Pertanto la richiesta matrice M è :
$M= ((1,1,1),(0,1,2),(0,0,1)) $
Se ad esempio vuoi il polinomio corrispondente di $1+2t+3t^2$ hai :
$T(1+2t+3t^2)=T((1),(2),(3))=((1,1,1),(0,1,2),(0,0,1))\cdot ((1),(2),(3))=((6),(8),(3))->6+8t+3t^2$
che è esattamente il risultato che si ottiene sostituendo $t$ con $t+1$ in $1+2t+3t^2$
polinomio $a+bt+ct^2$ ( ordinato secondo le potenze crescenti della indeterminata t) il vettore ordinato dei suoi coefficienti :
$a+bt+ct^2->((a),(b),(c))$
Questa corrispondenza è un isomorfismo e quindi lascia invariate le proprietà fondamentali dei polinomi in questione quando da essi si passa ai corrispondenti coefficienti. In virtù di tale isomorfismo si ha :
$T(x+yt+zt^2)=T((x),(y),(z))$
Ma in base alla legge indicata nella consegna segue che :
$T(x+yt+zt^2)=x+y(t+1)+z(t+1)^2=(x+y+z)+(y+2z)t+zt^2-> ((x+y+z),(y+2z),(z))$
e dunque :
$T((x),(y),(z))=((x+y+z),(y+2z),(z))$
Pertanto la richiesta matrice M è :
$M= ((1,1,1),(0,1,2),(0,0,1)) $
Se ad esempio vuoi il polinomio corrispondente di $1+2t+3t^2$ hai :
$T(1+2t+3t^2)=T((1),(2),(3))=((1,1,1),(0,1,2),(0,0,1))\cdot ((1),(2),(3))=((6),(8),(3))->6+8t+3t^2$
che è esattamente il risultato che si ottiene sostituendo $t$ con $t+1$ in $1+2t+3t^2$
chiaro e preciso, grazie
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