Matrice assocciata all'applicazione lineare.
Sia dato lo spazio vettoriale $R^3$ e la sua base canonina $B=(e_1,e_2,e_3)$.
Dato i vettori : \(\displaystyle v_1=(1,0,1),v_2=(0,1,-1), v_3=(0,0,2) \) l.i.
Dato l'endomorfismo \(\displaystyle f:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R^3} \) defnito
\(\displaystyle f(v_1)=(3,1,0), f(v_2)=(-1,0,2), f(v_3)=(0,2,0) \)
determinare la matrice assocciata ad \(\displaystyle f\) rispetto a \(\displaystyle R=(v_1,v_2,v_3) \) e \(\displaystyle B=(e_1,e_2,e_3) \)-
Come si fa ?? non so proprio come cominciare !!
Dato i vettori : \(\displaystyle v_1=(1,0,1),v_2=(0,1,-1), v_3=(0,0,2) \) l.i.
Dato l'endomorfismo \(\displaystyle f:\mathbb{R^3}\to \mathbb{R^3} \) defnito
\(\displaystyle f(v_1)=(3,1,0), f(v_2)=(-1,0,2), f(v_3)=(0,2,0) \)
determinare la matrice assocciata ad \(\displaystyle f\) rispetto a \(\displaystyle R=(v_1,v_2,v_3) \) e \(\displaystyle B=(e_1,e_2,e_3) \)-
Come si fa ?? non so proprio come cominciare !!
Risposte
Almeno devi avere un minimo di conoscenze di base. Devi sapere che ogni endomorfismo $f$, fissata una base, ammette una matrice rappresentativa $A_f$.
Se $f:VtoV$ è un endomorfismo di uno spazio vettoriale con $dimV=n$.
Si fissa una base $v_1,v_2,.....,v_n$, tale base "la vedi" sia come base di $V$ spazio vettoriale di partenza (DOMINIO), che come base di $V$ spazio vettoriale di arrivo (CODOMINIO). Ora fai in questo modo:
$f(v_1)$ sarà un vettore del codominio e determini le componenti rispetto alla base fissata, con tali componenti costruisci la prima colonna della matrice $A_f$.
$f(v_2)$ sarà un vettore del codominio e determini le componenti rispetto alla base fissata, con tali componenti costruisci la seconda colonna della matrice $A_f$.
........
$f(v_n)$ sarà un vettore del codominio e determini le componenti rispetto alla base fissata, con tali componenti costruisci la n-esima colonna della matrice $A_f$.
Nel tuo caso devi costruire $A_f$ prima con la base $B_1={(1,0,1),(0,1,-1),(0,0,2)}$
e poi con la base $B_2={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$. Sono due esercizi che per il momento puoi svolgere separatamente. C'è anche una relazione che permette di determinare l'altra matrice noto che sia una delle due rispetto ad una base. Questo per evitare di applicare lo stesso procedimento ad entrambi le basi.
Tu inizia con la base $B_1={(1,0,1),(0,1,-1),(0,0,2)}$ e poi ripeti gli stessi passaggi per la base $B_2$.
Devi calcolare:
$f(1,0,1)=...$
$f(0,1,-1)=...$
$f(0,0,2)=...$
Di ciascun vettore trova le componenti e costruisci la matrice, in questo caso viene:
Se $f:VtoV$ è un endomorfismo di uno spazio vettoriale con $dimV=n$.
Si fissa una base $v_1,v_2,.....,v_n$, tale base "la vedi" sia come base di $V$ spazio vettoriale di partenza (DOMINIO), che come base di $V$ spazio vettoriale di arrivo (CODOMINIO). Ora fai in questo modo:
$f(v_1)$ sarà un vettore del codominio e determini le componenti rispetto alla base fissata, con tali componenti costruisci la prima colonna della matrice $A_f$.
$f(v_2)$ sarà un vettore del codominio e determini le componenti rispetto alla base fissata, con tali componenti costruisci la seconda colonna della matrice $A_f$.
........
$f(v_n)$ sarà un vettore del codominio e determini le componenti rispetto alla base fissata, con tali componenti costruisci la n-esima colonna della matrice $A_f$.
Nel tuo caso devi costruire $A_f$ prima con la base $B_1={(1,0,1),(0,1,-1),(0,0,2)}$
e poi con la base $B_2={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$. Sono due esercizi che per il momento puoi svolgere separatamente. C'è anche una relazione che permette di determinare l'altra matrice noto che sia una delle due rispetto ad una base. Questo per evitare di applicare lo stesso procedimento ad entrambi le basi.
Tu inizia con la base $B_1={(1,0,1),(0,1,-1),(0,0,2)}$ e poi ripeti gli stessi passaggi per la base $B_2$.
Devi calcolare:
$f(1,0,1)=...$
$f(0,1,-1)=...$
$f(0,0,2)=...$
Di ciascun vettore trova le componenti e costruisci la matrice, in questo caso viene:
$A_f=((3,-1,0),(1,0,2),(-1,3/2,1))$
Buongiorno,grazie per la risposta.
Seguendo il tuo ragionamento, mi sono ricavato sia per la base \(\displaystyle B_1 \) ed ottengo la seguente matrice " quella che hai già riportato"
Ecco lo svolgimento:
\(\displaystyle (3,1,0)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1-1)+x_3(0,0,2) \)
\(\displaystyle (-1,0,2)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1-1)+x_3(0,0,2) \)
\(\displaystyle (0,2,0)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1-1)+x_3(0,0,2) \)
Sistemi:
\(\displaystyle \begin{cases} x_1=3 \\ x_2=1 \\ x_1-x_2+2x_3=0 \end{cases} \to \begin{cases} x_1=3 \\ x_2=1 \\ x_3= 1\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} x_1=-1 \\ x_2=0 \\ x_1-x_2+2x_3=2 \end{cases} \to \begin{cases} x_1=1 \\ x_2=0 \\ x_3= 3/2\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} x_1=0 \\ x_2=2 \\ x_1-x_2+2x_3=0 \end{cases} \to \begin{cases} x_1=0 \\ x_2=2 \\ x_3= 1\end{cases} \).
Quindi la matrice associata ad \(\displaystyle f \) rispetto alla base \(\displaystyle B_1={v_1,v_2,v_3} \) , è la seguente:
Invece per la base \(\displaystyle B_2={e_1,e_2,e_3} \), si ha
\(\displaystyle (3,1,0)=x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1) \)
\(\displaystyle (-1,0,2)=x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1) \)
\(\displaystyle (0,2,0)=x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1)) \)
Per i sistemi si svolgono, del tutto simile a quelli che ho riportato prima.
Quindi la matrice assocciata ad \(\displaystyle f \) nel riferirmento \(\displaystyle B_2 \), è la seguente:
Sono corretti i passaggi?
Ciao
Seguendo il tuo ragionamento, mi sono ricavato sia per la base \(\displaystyle B_1 \) ed ottengo la seguente matrice " quella che hai già riportato"
Ecco lo svolgimento:
\(\displaystyle (3,1,0)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1-1)+x_3(0,0,2) \)
\(\displaystyle (-1,0,2)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1-1)+x_3(0,0,2) \)
\(\displaystyle (0,2,0)=x_1(1,0,1)+x_2(0,1-1)+x_3(0,0,2) \)
Sistemi:
\(\displaystyle \begin{cases} x_1=3 \\ x_2=1 \\ x_1-x_2+2x_3=0 \end{cases} \to \begin{cases} x_1=3 \\ x_2=1 \\ x_3= 1\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} x_1=-1 \\ x_2=0 \\ x_1-x_2+2x_3=2 \end{cases} \to \begin{cases} x_1=1 \\ x_2=0 \\ x_3= 3/2\end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} x_1=0 \\ x_2=2 \\ x_1-x_2+2x_3=0 \end{cases} \to \begin{cases} x_1=0 \\ x_2=2 \\ x_3= 1\end{cases} \).
Quindi la matrice associata ad \(\displaystyle f \) rispetto alla base \(\displaystyle B_1={v_1,v_2,v_3} \) , è la seguente:
$ A_f=((3,-1,0),(1,0,2),(-1,3/2,1)) $
Invece per la base \(\displaystyle B_2={e_1,e_2,e_3} \), si ha
\(\displaystyle (3,1,0)=x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1) \)
\(\displaystyle (-1,0,2)=x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1) \)
\(\displaystyle (0,2,0)=x_1(1,0,0)+x_2(0,1,0)+x_3(0,0,1)) \)
Per i sistemi si svolgono, del tutto simile a quelli che ho riportato prima.
Quindi la matrice assocciata ad \(\displaystyle f \) nel riferirmento \(\displaystyle B_2 \), è la seguente:
$ A_f=((3,-1,0),(1,0,2),(0,2,0)) $
. Sono corretti i passaggi?
Ciao
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo