Matrice applicazione lineare
ho un problema con il seguente esercizio.
mi si chiede di calcolare una base del nucleo data l'applicazione lineare $f:V->RR^(2,2)$ definita dalla relazione:
$f(((1,-1),(-1,1)))=((1,0),(3,-1))$
$f(((-1,2),(0,1)))=((-1,1),(-4,1))$
$f(((0,-1),(0,0)))=((0,-1),(1,0))$
per calcolare il nucleo devo risolvere il sistema $AX=0$
osservo che le matrici $((1,-1),(-1,1)),((-1,2),(0,1)),((0,-1),(0,0))$ formano una base di $V$
devo quindi trovare la matrice associata all'applicazione lineare.
devo allora calcolarmi le componenti delle immagini della base di V
scrivendomi il sistema
$((1,0),(3,-1))=x((1,-1),(-1,1))+y((-1,2),(0,1))+z((0,-1),(0,0))$
purtroppo il sistema che ottengo è impossibile
mi si chiede di calcolare una base del nucleo data l'applicazione lineare $f:V->RR^(2,2)$ definita dalla relazione:
$f(((1,-1),(-1,1)))=((1,0),(3,-1))$
$f(((-1,2),(0,1)))=((-1,1),(-4,1))$
$f(((0,-1),(0,0)))=((0,-1),(1,0))$
per calcolare il nucleo devo risolvere il sistema $AX=0$
osservo che le matrici $((1,-1),(-1,1)),((-1,2),(0,1)),((0,-1),(0,0))$ formano una base di $V$
devo quindi trovare la matrice associata all'applicazione lineare.
devo allora calcolarmi le componenti delle immagini della base di V
scrivendomi il sistema
$((1,0),(3,-1))=x((1,-1),(-1,1))+y((-1,2),(0,1))+z((0,-1),(0,0))$
purtroppo il sistema che ottengo è impossibile
Risposte
"mazzy89":
ho un problema con il seguente esercizio.
mi si chiede di calcolare una base del nucleo data l'applicazione lineare $f:V->RR^(2,2)$ definita dalla relazione:
Scusami ma $V$ sarebbe?
Io ho ragionato in questo modo, rifacendomi all'isomorfismo tra $RR^4$ e le matrici quadrate di ordine $2$.
$V$ è un sottospazio di dimensione $3$, una sua equazione cartesiana è: $x+2z+t=0$. La $dim(Imf)=2$, perchè le matrici sono dipendenti. Il nucleo della nostra applicazione lineare deve avere dimensione $1$.
Indicati con $v_1=(1,-1,-1,1)$,$v_2=(-1,2,0,1)$,$v_3=(0,-1,0,0)$ i vettori che generano $V$, trovo le coordinate $a,b,c$ di un generico vettore $(x,y,z,t)$ rispetto ai vettori della base di$V$ (sfrutto la condizione che $x+2z+t=0$).
A questo punto sono in grado di esprimere proprio l'applicazione:
$f(x,y,z,t)=(-2z-t,y-2z-t,-y-4z-2t,2z+t)$
Studio il nucleo di questa applicazione e interseco con l'equazione $x+2z+t=0$
Trovo che il nucleo dell'applicazione sono i vettori del tipo: $(0,0,z,-2z)$.
Quindi sfruttando l'isomorfismo dico che $Kerf=<((0,0),(1,-2))>$
$V$ è un sottospazio di dimensione $3$, una sua equazione cartesiana è: $x+2z+t=0$. La $dim(Imf)=2$, perchè le matrici sono dipendenti. Il nucleo della nostra applicazione lineare deve avere dimensione $1$.
Indicati con $v_1=(1,-1,-1,1)$,$v_2=(-1,2,0,1)$,$v_3=(0,-1,0,0)$ i vettori che generano $V$, trovo le coordinate $a,b,c$ di un generico vettore $(x,y,z,t)$ rispetto ai vettori della base di$V$ (sfrutto la condizione che $x+2z+t=0$).
A questo punto sono in grado di esprimere proprio l'applicazione:
$f(x,y,z,t)=(-2z-t,y-2z-t,-y-4z-2t,2z+t)$
Studio il nucleo di questa applicazione e interseco con l'equazione $x+2z+t=0$
Trovo che il nucleo dell'applicazione sono i vettori del tipo: $(0,0,z,-2z)$.
Quindi sfruttando l'isomorfismo dico che $Kerf=<((0,0),(1,-2))>$
ma io ho provato a calcolarmi la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche di $RR^(2,2)$ però purtroppo ottengo un sistema di tre equazioni in quattro incognite.come posso fare?
"mazzy89":
ma io ho provato a calcolarmi la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche di $RR^(2,2)$ però purtroppo ottengo un sistema di tre equazioni in quattro incognite.come posso fare?
La tua applicazione non è definità in $RR^(2,2)$, ma in un sottospazio di $RR^(2,2)$ che ha dimensione $3$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo