Matrice antisimmetrica e diagonalizzazione
Ciao a tutti, ho provato a svolgere due esercizi: Il primo è praticamente una dimostrazione.. ed è questo $ -> $ http://img17.imageshack.us/img17/4557/eserciziogeo.png , nel secondo devo trovare i valori di $ k $ per cui l'endorfismo è diagonalizzabile.. ecco $ -> $ http://img137.imageshack.us/img137/3881/diagonalizz.png .
Per il primo ho fatto questo ragionamento:
Allora, parto dal fatto che $ A $ è invertibile se $ A*A^(-1)= I $, in cui $ I= $ matrice identità, e che, essendo $ A $ antisimmetrica, $ A=-A' $ .
Quindi $ A=( ( 0 , a , b ),( -a , 0 , c ),( -b , -c , 0 ) ) $ ed già è evidente che la soluzione sia "nessuna" (penso), ad ogni modo ho continuato cosi':
$ A*X=I $ , in cui $ X=( ( a' , b' , c' ),( d' , e' , f' ),( g' , h' , i' ) ) $ , e risolvendo le equazioni di primo grado che vengono fuori si arriva a degli assurdi del tipo $ 0=1 $ . Penso che il ragionamento sia giuto..
Per quanto riguarda il secondo esercizio ho parecchi dubbi che spero di risolvere:
Per prima cosa scrivo la matrice $ A=( ( k-8 , 5k+21 , 5k+41 ),( 4 , -k-8 , -2k-18 ),( -4 , 2k+8 , 3k+18 ) )= ( ( k-8 , 5k+21 , 5k+41 ),( 0 , k , k ),( -4 , 2k+8 , 3k+18 ) )= ( ( k-8 , 20 , 5k+41 ),( 0 , 0 , k ),( -4 , k+10 , 3k+18 ) ) $ arrivato qui iniziano i problemi.. gli esercizi fatti con il professore erano diciamo "semplici" infatti comparivano sempre matrici ridotte a scalini per cui bastava scrivere il polinomio caratteristico, trovare i valori di $ k $ e $ lambda $ sostituirli nella matrice e trovare le molteplicità per stabilirne o meno da diagonalizzabilità. Ma in questo esercizio.. come devo continuare? O piu' in generale.. se non riesco a trovare una matrice ridotta che mi facilita i calcoli come procedo? Nella forma in cui ho portato io quella matrice è possibilie completare l'esercizio? Illuminatemi
Per il primo ho fatto questo ragionamento:
Allora, parto dal fatto che $ A $ è invertibile se $ A*A^(-1)= I $, in cui $ I= $ matrice identità, e che, essendo $ A $ antisimmetrica, $ A=-A' $ .
Quindi $ A=( ( 0 , a , b ),( -a , 0 , c ),( -b , -c , 0 ) ) $ ed già è evidente che la soluzione sia "nessuna" (penso), ad ogni modo ho continuato cosi':
$ A*X=I $ , in cui $ X=( ( a' , b' , c' ),( d' , e' , f' ),( g' , h' , i' ) ) $ , e risolvendo le equazioni di primo grado che vengono fuori si arriva a degli assurdi del tipo $ 0=1 $ . Penso che il ragionamento sia giuto..
Per quanto riguarda il secondo esercizio ho parecchi dubbi che spero di risolvere:
Per prima cosa scrivo la matrice $ A=( ( k-8 , 5k+21 , 5k+41 ),( 4 , -k-8 , -2k-18 ),( -4 , 2k+8 , 3k+18 ) )= ( ( k-8 , 5k+21 , 5k+41 ),( 0 , k , k ),( -4 , 2k+8 , 3k+18 ) )= ( ( k-8 , 20 , 5k+41 ),( 0 , 0 , k ),( -4 , k+10 , 3k+18 ) ) $ arrivato qui iniziano i problemi.. gli esercizi fatti con il professore erano diciamo "semplici" infatti comparivano sempre matrici ridotte a scalini per cui bastava scrivere il polinomio caratteristico, trovare i valori di $ k $ e $ lambda $ sostituirli nella matrice e trovare le molteplicità per stabilirne o meno da diagonalizzabilità. Ma in questo esercizio.. come devo continuare? O piu' in generale.. se non riesco a trovare una matrice ridotta che mi facilita i calcoli come procedo? Nella forma in cui ho portato io quella matrice è possibilie completare l'esercizio? Illuminatemi
Risposte
L'ultimo esercizio non l'ho capito.
Credo che non esista un modo per evitare la lunga fila di calcoli, quindi sono ricorso al computer per capire di cosa si parla qui. Il determinante è $2k^2+k^3$.
Ma il bello è che calcolando gli autovettori e provando diversi $k$ viene sempre fuori un autovettore nullo, anche con $k=-13$, quindi o c'è qualcosa che mi sfugge, o la soluzione non è comunque corretta.
Non saprei....
Credo che non esista un modo per evitare la lunga fila di calcoli, quindi sono ricorso al computer per capire di cosa si parla qui. Il determinante è $2k^2+k^3$.
Ma il bello è che calcolando gli autovettori e provando diversi $k$ viene sempre fuori un autovettore nullo, anche con $k=-13$, quindi o c'è qualcosa che mi sfugge, o la soluzione non è comunque corretta.
Non saprei....
Ciao Quinzio, grazie per la risposta. Quel $ K=-13 $ è pero' la somma degli autovalori, non vorrei avessi frainteso. Solitamento questa tipologia di esercizio l'abbiamo sempre svolta nello stesso modo: $ 1) $ Scrivere la matrice e fare le opportune semplificazioni $ 2) $ Scrivere il polinomio caratteristico $ 3) $ Trovare i valori per cui $ lambda $ si ripete ( e questo esercizio chiede la somma degli autovalori trovati ) $ 4) $ Studiare molteplicità algebrica/ geometrica per capire se è diagonalizzabile o meno. Suppongo si faccia cosi' anche questo ma sinceramente non sono riuscito a trovare il valore richiesto..
Ps: Per il primo tutto ok?
Ps: Per il primo tutto ok?
Determiniamo gli autovalori:
$det((k-8-lambda,5k+21,5k+41),(4,-k-8-lambda,-2k-18),(-4,2k+8,3k+18-lambda))=0 rarr$
$rarr det((k-8-lambda,5k+21,5k+41),(4,-k-8-lambda,-2k-18),(0,k-lambda,k-lambda))=0 rarr$
$rarr det((k-8-lambda,-20,5k+41),(4,k+10-lambda,-2k-18),(0,0,k-lambda))=0 rarr$
$rarr (k-lambda)[(k-8-lambda)(k+10-lambda)+80]=0 rarr$
$rarr (k-lambda)[lambda^2-(2k+2)lambda+k(k+2)]=0 rarr$
$rarr [lambda_1=k] vv [lambda_2=k] vv [lambda_3=k+2]$
Poichè $[k!=k+2]$, è necessario e sufficiente che l'autospazio associato a $[lambda_1=lambda_2=k]$ abbia dimensione due:
$[r((-8,-20,5k+41),(4,10,-2k-18),(0,0,0))=1] rarr$
$rarr [5k+41=-2(-2k-18)] rarr$
$rarr [k=-5] rarr$
$rarr [lambda_1+lambda_2+lambda_3=-13]$
$det((k-8-lambda,5k+21,5k+41),(4,-k-8-lambda,-2k-18),(-4,2k+8,3k+18-lambda))=0 rarr$
$rarr det((k-8-lambda,5k+21,5k+41),(4,-k-8-lambda,-2k-18),(0,k-lambda,k-lambda))=0 rarr$
$rarr det((k-8-lambda,-20,5k+41),(4,k+10-lambda,-2k-18),(0,0,k-lambda))=0 rarr$
$rarr (k-lambda)[(k-8-lambda)(k+10-lambda)+80]=0 rarr$
$rarr (k-lambda)[lambda^2-(2k+2)lambda+k(k+2)]=0 rarr$
$rarr [lambda_1=k] vv [lambda_2=k] vv [lambda_3=k+2]$
Poichè $[k!=k+2]$, è necessario e sufficiente che l'autospazio associato a $[lambda_1=lambda_2=k]$ abbia dimensione due:
$[r((-8,-20,5k+41),(4,10,-2k-18),(0,0,0))=1] rarr$
$rarr [5k+41=-2(-2k-18)] rarr$
$rarr [k=-5] rarr$
$rarr [lambda_1+lambda_2+lambda_3=-13]$
Grazie della risposta speculor! Ho un paio di dubbi.. :
Poi, trovati i valori di $ lambda $ li sostituisci nella matrice e arrivi a questa matrice $ ( ( -8 , -20 , 5k+41 ),( 4 , 10 , -2k-18 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
perchè hai posto la matrice $ =1 $ ? E perchè hai eguagliato $ 5k+41 $ a $ -2(2k-18) $ ? Scusa per le mille domande.
"speculor":Come fai a trovare i valori di $ lambda $ ? Cioè io ho sempre fatto esercizi in cui alla fine trovavo una matrice ridotta e il polinomio caratteristico era immediato.. della serie $ ( ( 1-lambda , a , b ),( 0 , 2-lambda , c ),( 0 , 0 , -lambda ) ) $ .. ma qui come trovi $ lambda_2 $ e $ lambda_3 $ da questa relazione $ lambda^2-(2k+2)lambda+k(k+2) $ ? ( Scusa ma non lo capisco )
$(k−λ)[lambda^2−(2k+2)λ+k(k+2)]=0$$→$
$→$$[λ1=k]∨[λ2=k]∨[λ3=k+2]$
Poi, trovati i valori di $ lambda $ li sostituisci nella matrice e arrivi a questa matrice $ ( ( -8 , -20 , 5k+41 ),( 4 , 10 , -2k-18 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ .
"speculor":
$→[5k+41=−2(−2k−18)]→$
$→[k=−5]→$
perchè hai posto la matrice $ =1 $ ? E perchè hai eguagliato $ 5k+41 $ a $ -2(2k-18) $ ? Scusa per le mille domande.
Si tratta di calcolare il determinante, se la matrice non è triangolare non puoi semplicemente moltiplicare gli elementi sulla diagonale principale. Inoltre, puoi risolvere la seguente equazione:
$[lambda^2-(2k+2)lambda+k(k+2)]=0$
applicando la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado. Tuttavia, essendo:
$\{(x_1+x_2=-b/a=2k+2),(x_1*x_2=c/a=k(k+2)):}$
è evidente che le soluzioni debbano essere $[lambda_2=k] vv [lambda_3=k+2]$. Infine, per avere il sottospazio associato all'autovalore $[lambda_1=lambda_2=k]$ di dimensione due, non ho posto la matrice ma il suo rango uguale a uno.
$[lambda^2-(2k+2)lambda+k(k+2)]=0$
applicando la formula risolutiva delle equazioni di 2° grado. Tuttavia, essendo:
$\{(x_1+x_2=-b/a=2k+2),(x_1*x_2=c/a=k(k+2)):}$
è evidente che le soluzioni debbano essere $[lambda_2=k] vv [lambda_3=k+2]$. Infine, per avere il sottospazio associato all'autovalore $[lambda_1=lambda_2=k]$ di dimensione due, non ho posto la matrice ma il suo rango uguale a uno.
Hai ragione. Grazie mille per le risposte ho capito!
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