Matrice A da autospazio

[seseandre]

salve vorrei proporvi questo esercizio.

si indichi una matrice non invertibile A$in$ $CC$ avente per autospazio

$V_(1-2i)$ ={x $in$ $CC$^4 |x1+ix2+x3+ix4=0}

si provi che A è diagonalizzabile,e si diagonalizzi A.

la mia idea iniziale era quella di risolvere l'equazione dell autospazio e trovare ad esempio

< $((1),(0),(-1),(0))$ $((1),(i),(0),(0))$ $((1),(0),(0),(i))$ $((1),(0),(-i),(0))$> a questo punto come faccio a trovare A?

avevo pensato che avendo $V_(1-2i)$ come unico autospazio dovessi procedere in modo contrario al polinomio caratteristico per esempio sommando alla diagonare 1-2i... è giusto come ragionamento per proseguire?!?!? grazie spero possiate aiutarmi

[Antimius]

Nota intanto che tale autospazio ha dimensione 3, mentre il nucleo ha dimensione almeno 1 (essendo la matrice non invertibile). Poiché la dimensione di [tex]\mathbb{C}^4[/tex] è 4, il nucleo ha esattamente dimensione 1, essendo gli autospazi sempre in somma diretta. Ma allora dalla formula di Grassman hai che [tex]\mathbb{C}^4=V_{1-2i} \oplus V_0[/tex], che è una condizione equivalente alla diagonalizzabilità.

Ora sia [tex][v_1,v_2,v_3][/tex] una base dell'autospazio di autovalore [tex]1-2i[/tex]. Ti basta trovare un vettore linearmente indipendente da essi per avere un generatore del nucleo, diciamo [tex]v_4[/tex]. Hai così trovato una base di autovettori. Ti basta scrivere [tex]A[/tex] rispetto a questa base (che ovviamente sai già com'è fatta conoscendo gli autovalori e le loro molteplicità). Ora sai determinare la matrice di transizione.

[seseandre]

grazie mille!!!risposta semblice e ben spiegata!!!

[Antimius]

Prego