Matrice 4x5..non riesco a ridurla a scalini con Gauss
Ciao a tutti, mi trovo un po' in difficoltà con Gauss. Aiutatemi a ridurre a scalini questa matrice 4X5 per determinarne il rango. Putroppo arrivo ad un punto in cui non riesco più ad andare avanti. Grazie in anticipo
Calcolare il rango della seguente matrice $ A=( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -2 , 1 , 4 , -9 ) ) $
Ho provato a svolgerla così con il metodo di eliminazione di Gauss, così potevo contare alla fine i pivot.
$( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -2 , 1 , 4 , -9 ) ) \to C_2=2C_2-C_4\to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -8 , 1 , 4 , -9 ) ) \to$
$\to C_1=3C_1+C_5\to ( ( 0 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )\to R_1=R_1+R_3\to ( ( 0 , 0 , 14 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )\to$
$\to R_1=R_1-R_2 \to ( ( 0 , 0 , 7 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )$
Ok, ora non riesco più ad andare avanti. Qui è una matrice 4x5, per cui il suo rango è compreso da $1$ e $4$.
Come posso ad andare avanti a ridurre?
Calcolare il rango della seguente matrice $ A=( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -2 , 1 , 4 , -9 ) ) $
Ho provato a svolgerla così con il metodo di eliminazione di Gauss, così potevo contare alla fine i pivot.
$( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -2 , 1 , 4 , -9 ) ) \to C_2=2C_2-C_4\to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -8 , 1 , 4 , -9 ) ) \to$
$\to C_1=3C_1+C_5\to ( ( 0 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )\to R_1=R_1+R_3\to ( ( 0 , 0 , 14 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )\to$
$\to R_1=R_1-R_2 \to ( ( 0 , 0 , 7 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 9 , -4 , 3 ),( 0 , -8 , 1 , 4 , -9 ) )$
Ok, ora non riesco più ad andare avanti. Qui è una matrice 4x5, per cui il suo rango è compreso da $1$ e $4$.
Come posso ad andare avanti a ridurre?
Risposte
"giuscri":
ah ok, la matrice ha rango 3.. scusa una cosa come fa a venirti da una matrice 4x5 una matrice 3x5? manca tutta una riga di zeri
\begin{bmatrix}
1& 0& 5& 0& -3 \\
0& -1& 7 & -2& 0 \\
0& 0& 0& 8& 0
\end{bmatrix}
Ho scartato una riga -la terza riga della matrice manipolata e' il doppio della seconda.
Se e' il rango quello che devi calcolarti -almeno questo lo so- sei interessato solo ai set di righe linearmente indipendenti. No?
Se e' il rango quello che devi calcolarti -almeno questo lo so- sei interessato solo ai set di righe linearmente indipendenti. No?
"giuscri":
Ho scartato una riga -la terza riga della matrice manipolata e' il doppio della seconda.
Se e' il rango quello che devi calcolarti -almeno questo lo so- sei interessato solo ai set di righe linearmente indipendenti. No?
Forse ci sono riuscito a ridurla a scala ma con degli alti calcoli, dimmi se è esatto che l'ho ridotta a scala
$ ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , 3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( -1 , -2 , 9 , -4 , 3 ),( 3 , -2 , 1 , 4 , -9 ) )\to R_3=R_3+R_1 \to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , 3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , -2 , 14 , -4 , 0 ),( 3 , -2 , 1 , 4 , -9 ) )\to$
$ \to R_4=R_4-3R_1\to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , -2 , 14 , -4 , 0 ),( 0 , -2 , -14 , 4 , 0 ) ) \to R_4=R_4+R_3\to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , -2 , 14 , -4 , 0 ),( 0 , -4 , 0 , 0 , 0 ) )\to$
$\to$ \( R_3\longleftrightarrow R_4 \) $\to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , -4 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , 14 , -4 , 0 ) )\to R_4=R_4-2R_2\to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , -4 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) )\to$
$\to R_3=-1/4 R_3+R_2 \to ( ( 1 , 0 , 5 , 0 , -3 ),( 0 , -1 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 7 , -2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) )$
Ok le righe NON nulle, cioè i pivot sono 3, quindi il rango è 3
"21zuclo":
dimmi se è esatto
Hudio! Tre pagine di calcoli!
Non so, quelle sono somme e sottrazioni quindi se le hai sbagliate ...be', non e' li' il succo.
La questione e' che gia' dal secondo passaggio non ha senso portarti dietro la terza riga.
Scusa, eh. Mi lancio nel dire qualche porcheria da prendere con le pinze -come dicevo sopra, sto studiando queste cose per la prima volta in questi giorni. Puoi pensare al rango di una matrice $A$ come alla dimensione dello spazio vettoriale generato dalle righe di $A$. Il tuo interesse quindi e' quello di trovare il numero massimo di righe linearmente indipendenti nel miscuglio di righe di $A$. Alcune sono traditrici (i.e. sono combinazione lineare di alcune delle precedenti). Appena le scovi, le togli.
Tra l'altro, non vorrei dire una fesseria, ma proprio il procedimento che usi (tolgo dalla prima due volte la seconda, meno la quarta per tre volte la sesta, piu' cinque volta la 67esima e poi ignoro le nulle) credo dovresti vederlo come la ricerca di quella riga che e' scritta come
\begin{equation*}
R^{(j)} = a_1 R^{(i_1)} + a_2 R^{(i_2)} + \ldots{} + a_k R^{(i_k)}.
\end{equation*}
Per questo togli $a_1$ volte la riga $i_1$esima, etc...: vuoi annullare $R^{(j)}$.
Prendi con le pinze quello che ho scritto pero'.
io studiando queste cose ho imparato che per calcolare il rango si può fare in modi diversi
1. col criterio dei minori
2. Si definisce rango di A (A è una matrice) il max numero di vettori riga (o colonna) linearmente indipendenti
3. Calcolo del rango con la procedura di eliminazione gaussina (Metodo Eliminazione di Gauss)
cioè per il punto 3 prendiamo una matrice $A\in Mat(m,n, RR)$ e riduciamola con Gauss, otterremo infine una matrice ridotta a scala $A'$.
Il rango di una matrice NON ridutta A coincide con il numero dei pivot della matrice ridotta $A'$
In breve il numero di pivot è il numero di righe, non identicamente nulle, della matrice ridotta
A me avevano dato questo esempio $A=( ( 1 , -4 , 2 ),( 0 , 7 ,0 ),( 0 , 0, 0) )$, ha solamente 2 pivot (1 e 7), dunque il rango è 2
1. col criterio dei minori
2. Si definisce rango di A (A è una matrice) il max numero di vettori riga (o colonna) linearmente indipendenti
3. Calcolo del rango con la procedura di eliminazione gaussina (Metodo Eliminazione di Gauss)
cioè per il punto 3 prendiamo una matrice $A\in Mat(m,n, RR)$ e riduciamola con Gauss, otterremo infine una matrice ridotta a scala $A'$.
Il rango di una matrice NON ridutta A coincide con il numero dei pivot della matrice ridotta $A'$
In breve il numero di pivot è il numero di righe, non identicamente nulle, della matrice ridotta
A me avevano dato questo esempio $A=( ( 1 , -4 , 2 ),( 0 , 7 ,0 ),( 0 , 0, 0) )$, ha solamente 2 pivot (1 e 7), dunque il rango è 2
...ok. Questo e' -forse- interessante computazionalmente. Ad ogni modo stavo cercando di spiegare perche' puoi fare a meno di portarti dietro delle righe che sono evidentemente combinazione lineare delle altre.
Be', buono studio! Ciao!
Be', buono studio! Ciao!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo