Matrice 4x4 con parametro k, diagonalizzabilità.
Innanzitutto buona sera a tutti, mi chiamo Simone e frequento il primo anno di Ingegneria Meccanica.
Al momento sono bloccato su un esercizio di un appello ed ho l'esame tra una decina di giorni.
Si tratta di determinare per quali valori di k la matrice 4x4
K K 0 0
0 K-2 0 0
0 0 K-1 1
0 0 1 K-1
Risulti diagonalizzabile.
Dai calcoli svolti trovo un polinomio caratteristico:
(K-t)(((K-t-2)((t^2)-2t(K-1)-2K))).
Proseguendo con i calcoli trovo autovalori decisamente anomali che nulla hanno a che vedere con quanto presente nel risultato in quanto dovrebbe essere diagonalizzabile per qualsiasi valore di k.
Mi scuso anticipatamente se non ho utilizzato un corretto linguaggio grafico ma da tablet mi risulta abbastanza complicato.
Spero qualcuno possa aiutarmi, possibilmente svolgendo i calcoli dato che, nonostante li abbia controllati più volte, continuo a non trovare l'errore.
Grazie.
Al momento sono bloccato su un esercizio di un appello ed ho l'esame tra una decina di giorni.
Si tratta di determinare per quali valori di k la matrice 4x4
K K 0 0
0 K-2 0 0
0 0 K-1 1
0 0 1 K-1
Risulti diagonalizzabile.
Dai calcoli svolti trovo un polinomio caratteristico:
(K-t)(((K-t-2)((t^2)-2t(K-1)-2K))).
Proseguendo con i calcoli trovo autovalori decisamente anomali che nulla hanno a che vedere con quanto presente nel risultato in quanto dovrebbe essere diagonalizzabile per qualsiasi valore di k.
Mi scuso anticipatamente se non ho utilizzato un corretto linguaggio grafico ma da tablet mi risulta abbastanza complicato.
Spero qualcuno possa aiutarmi, possibilmente svolgendo i calcoli dato che, nonostante li abbia controllati più volte, continuo a non trovare l'errore.
Grazie.
Risposte
Ciao, per prima cosa scriviamo bene la matrice: $$A=\begin{bmatrix}
k&k&0&0\\0&k-2&0&0\\0&0&k-1&1\\0&0&1&k-1
\end{bmatrix}$$ Quindi scriviamo la matrice $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}
k-\lambda&k&0&0\\0&k-2-\lambda&0&0\\0&0&k-1-\lambda&1\\0&0&1&k-1-\lambda
\end{bmatrix}$$ Il suo determinante è dato da $$\det\left(A-\lambda I\right) = \left(k-\lambda\right)\left(k-2-\lambda\right)\left[\left(k-1-\lambda\right)^2-1\right]$$ L'ultimo fattore si può vedere come una differenza di quadrati, quindi il polinomio caratteristico si può riscrivere come $$\det\left(A-\lambda I\right) = \left(k-\lambda\right)\left(k-2-\lambda\right)\left(k-2-\lambda\right)\left(k-\lambda\right)$$ In conclusione gli autovalori sono $$\lambda = k \qquad \lambda = k-2$$ ciascuno con molteplicità algebrica pari a $2$. E si procede...
k&k&0&0\\0&k-2&0&0\\0&0&k-1&1\\0&0&1&k-1
\end{bmatrix}$$ Quindi scriviamo la matrice $$A-\lambda I = \begin{bmatrix}
k-\lambda&k&0&0\\0&k-2-\lambda&0&0\\0&0&k-1-\lambda&1\\0&0&1&k-1-\lambda
\end{bmatrix}$$ Il suo determinante è dato da $$\det\left(A-\lambda I\right) = \left(k-\lambda\right)\left(k-2-\lambda\right)\left[\left(k-1-\lambda\right)^2-1\right]$$ L'ultimo fattore si può vedere come una differenza di quadrati, quindi il polinomio caratteristico si può riscrivere come $$\det\left(A-\lambda I\right) = \left(k-\lambda\right)\left(k-2-\lambda\right)\left(k-2-\lambda\right)\left(k-\lambda\right)$$ In conclusione gli autovalori sono $$\lambda = k \qquad \lambda = k-2$$ ciascuno con molteplicità algebrica pari a $2$. E si procede...
Grazie veramente,
Comunque il problema era molto molto banale, ho perso un k^2 in un passaggio ed essendo all'ottava ora in sala studio inizio a perder colpi.
Non mi ero nemmeno accorto fosse una differenza di quadrati.
Grazie comunque.
Altra domanda, ne approfitto.
Per verificare che sia ortogonalmente diagonalizzabile come procedo?
Comunque il problema era molto molto banale, ho perso un k^2 in un passaggio ed essendo all'ottava ora in sala studio inizio a perder colpi.
Non mi ero nemmeno accorto fosse una differenza di quadrati.
Grazie comunque.
Altra domanda, ne approfitto.
Per verificare che sia ortogonalmente diagonalizzabile come procedo?
"Modox":
Per verificare che sia ortogonalmente diagonalizzabile come procedo?
Una matrice è ortogonalmente diagonalizzabile se e solo se è simmetrica, quindi dovrai imporre che la matrice $A$ sia simmetrica.
Si, dalla teoria ci sono, il problema è che non capisco in senso pratico che condizione imporre affinchè lo sia.
Ad occhio capisco che il valore è zero perché si vede ma non penso sia una giustificazione che potranno accettare all'esame ahahah.
Ad occhio capisco che il valore è zero perché si vede ma non penso sia una giustificazione che potranno accettare all'esame ahahah.
Devi imporre che la matrice sia simmetrica, quindi che valga $$A_{i,j} = A_{j,i} \qquad \forall i,j$$ Nel tuo caso va tutto bene tranne l'elemento $$A_{1,2} = k$$ mentre $$A_{2,1} = 0$$ Imponi quindi che questi elementi siano uguali e ottieni $$k=0$$
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