Matrice

[pablitoss12]

Buona sera
ma una matrice è diagonizzabile quando ha due autovalori ben distinti?? o mi sbaglio?

grazie delle risposte

[Luc@s]

no...
Lo è se tutti i suoi autovalori sono nel campo e le loro molteplicità algebrica e geometrica coincidono

[_Tipper]

Una condizione sufficiente per la diagonalizzabilità è che tutti gli autovalori siano distinti (i.e. abbiano tutti molteplicità algebrica pari a uno).

[clockover]

Per essere più precisi dovremmo dire che la condizione necessaria è l'esisteza di una base formata da autovettori!

[franced]

"pablitoss12":Buona sera
ma una matrice è diagonizzabile quando ha due autovalori ben distinti?? o mi sbaglio?

grazie delle risposte

Pensa alla matrice

$((1,0,0),(0,2,1),(0,0,2))$

gli autovalori sono $\lambda_1=1$ e $\lambda_2=2$ ma la matrice non è diagonalizzabile
(è già in forma di Jordan..).

[Lord K]

Uhm... se io però trasformo la matrice sommando la seconda riga con $-1/2$ la terza ottengo:

$((1,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$

Che è diagonale!

[Martino]

"Lord K":Uhm... se io però trasformo la matrice sommando la seconda riga con $-1/2$ la terza ottengo:

$((1,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$

Che è diagonale!

E allora?

L'operazione che hai fatto è la moltiplicazione a sinistra per la matrice invertibile $((1,0,0),(0,1,-1/2),(0,0,1))$. E la moltiplicazione a sinistra per matrici invertibili in generale fa uscire dalla classe di similitudine.
In altre parole se $B$ è una matrice e $A$ è una matrice invertibile non è detto che $AB$ sia simile a $B$.

[franced]

"Lord K":Uhm... se io però trasformo la matrice sommando la seconda riga con $-1/2$ la terza ottengo:

$((1,0,0),(0,2,0),(0,0,2))$

Che è diagonale!

Attenzione: qui stiamo parlando di matrici simili!!