Matrice 3x4
Ho il seguente esercizio:
Sia data la matrice:
$A=( ( a , 3-a , 8 , 10 ),( 2 , 1-a , 1 , -2a ),( 0 , 1 , 1 , 2 ) ) $, con $a$ parametro reale. Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
- $r(A)<=2$ $AAa\epsilonR$;
- Per $a=-3$ $r(A)=2$;
- Non esiste $a\epsilonR$ tale che $r(A)=2$;
- Esiste un numero infinito di valori di $a\epsilonR$ per cui $r(A)=2$;
- Nessuna delle altre risposte.
Ed io per risolverlo faccio questo ragionamento, di cui vi chiedo la bontà:
Scelgo innanzitutto il seguente minore di ordine $2$: $M=| ( 2 , 1 ),( 0 , 1 ) |=2 !=0rarr r(A)>=2$.
Calcola la prima orlata di questo minore: $O_1=|( a , 8 , 10 ),( 2 , 1 , -2a ),( 0 , 1 , 2 ) |=2a^2+2a-12$.
Ponendo il determinante $=0$, ottengo:
$2a^2+2a-12=0$ ottengo: $a=-3$ e $a=2$. Per questi due valori il rango dell'orlata $1$ è $2$, mentre per valori diversi da $-3$ e $2$ il rango della orlata $1$ è $3$. Calcolo poi la seconda orlata del nostro minore, cioè: $O_2=| ( a , 3-a , 8),( 2 , 1 -a, 1 ),( 0 , 1 , 1 ) |=-a^2+2a+10$. Pongo il determinante $=0$: $-a^2+2a+10=0rarr$, e ottengo che per $a=((2+sqrt44)/2)$ e per $a=((2-sqrt44)/2)$ il rango della seconda orlata è $2$ e per valori diversi da $(2+sqrt44)/(2)$ e da $(2-sqrt44)/(2)$ il rango della seconda orlata è $3$. A questo punto per calcolare il rango della matrice di partenza $3x4$ devo osservare i valori che ho ottenuto calcolando le due orlate e poiché osservo che non c'è un valore comune alle due orlate (perché i valori di $a$ per cui si annullano le due orlate sono diversi) posso concludere che il rango di $A$ è sempre $3$. è corretto questo ragionamento? Mi interessa la discussione di questa matrice solo in questo ambito, senza l'introduzione di concetti fuori da quest'ambito. Di conseguenza io risponderei all'esercizio scegliendo: " Non esiste $a\epsilonR$ tale che $r(A)=2$". Corretto? Grazie.
Sia data la matrice:
$A=( ( a , 3-a , 8 , 10 ),( 2 , 1-a , 1 , -2a ),( 0 , 1 , 1 , 2 ) ) $, con $a$ parametro reale. Quale delle seguenti asserzioni è VERA?
- $r(A)<=2$ $AAa\epsilonR$;
- Per $a=-3$ $r(A)=2$;
- Non esiste $a\epsilonR$ tale che $r(A)=2$;
- Esiste un numero infinito di valori di $a\epsilonR$ per cui $r(A)=2$;
- Nessuna delle altre risposte.
Ed io per risolverlo faccio questo ragionamento, di cui vi chiedo la bontà:
Scelgo innanzitutto il seguente minore di ordine $2$: $M=| ( 2 , 1 ),( 0 , 1 ) |=2 !=0rarr r(A)>=2$.
Calcola la prima orlata di questo minore: $O_1=|( a , 8 , 10 ),( 2 , 1 , -2a ),( 0 , 1 , 2 ) |=2a^2+2a-12$.
Ponendo il determinante $=0$, ottengo:
$2a^2+2a-12=0$ ottengo: $a=-3$ e $a=2$. Per questi due valori il rango dell'orlata $1$ è $2$, mentre per valori diversi da $-3$ e $2$ il rango della orlata $1$ è $3$. Calcolo poi la seconda orlata del nostro minore, cioè: $O_2=| ( a , 3-a , 8),( 2 , 1 -a, 1 ),( 0 , 1 , 1 ) |=-a^2+2a+10$. Pongo il determinante $=0$: $-a^2+2a+10=0rarr$, e ottengo che per $a=((2+sqrt44)/2)$ e per $a=((2-sqrt44)/2)$ il rango della seconda orlata è $2$ e per valori diversi da $(2+sqrt44)/(2)$ e da $(2-sqrt44)/(2)$ il rango della seconda orlata è $3$. A questo punto per calcolare il rango della matrice di partenza $3x4$ devo osservare i valori che ho ottenuto calcolando le due orlate e poiché osservo che non c'è un valore comune alle due orlate (perché i valori di $a$ per cui si annullano le due orlate sono diversi) posso concludere che il rango di $A$ è sempre $3$. è corretto questo ragionamento? Mi interessa la discussione di questa matrice solo in questo ambito, senza l'introduzione di concetti fuori da quest'ambito. Di conseguenza io risponderei all'esercizio scegliendo: " Non esiste $a\epsilonR$ tale che $r(A)=2$". Corretto? Grazie.
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