Matrice 3x2
Salve ragazzi!
Ho già fatto domande sull'argomento, ma le risposte che ho ricevuto non sono state, a mio avviso, esaustive.
L'esercizio è il seguente:
Studiare al variare del parametro t $ in $ R le soluzioni del sistema e trovarle:
$ { ( (t+1)x+(t+1)y+2z=1 ),( x+ty+z=1 ):} $
Io ho preso una sottomatrice 2x2, mi sono calcolata il determinate ed ho concluso che:
Per t $ != $ 0 il rango della matrice è pari a 2 e quindi esistono $ oo $ soluzioni
Per t= 0 il rango è pari a 1 e quindi esistono $ oo^2 $ soluzioni.
Poi mi trovo y e z in questo modo:
$ Y=|( 1 , 2 ),( 1 , 0 ) |/(-2t) = 1/t $
$ z=| ( t+1 , 1 ),( t , 1 ) | /(-2t)=(t+1)/2 $
Si può risolvere in questo modo oppure è totalmente sbagliato?
Ho già fatto domande sull'argomento, ma le risposte che ho ricevuto non sono state, a mio avviso, esaustive.
L'esercizio è il seguente:
Studiare al variare del parametro t $ in $ R le soluzioni del sistema e trovarle:
$ { ( (t+1)x+(t+1)y+2z=1 ),( x+ty+z=1 ):} $
Io ho preso una sottomatrice 2x2, mi sono calcolata il determinate ed ho concluso che:
Per t $ != $ 0 il rango della matrice è pari a 2 e quindi esistono $ oo $ soluzioni
Per t= 0 il rango è pari a 1 e quindi esistono $ oo^2 $ soluzioni.
Poi mi trovo y e z in questo modo:
$ Y=|( 1 , 2 ),( 1 , 0 ) |/(-2t) = 1/t $
$ z=| ( t+1 , 1 ),( t , 1 ) | /(-2t)=(t+1)/2 $
Si può risolvere in questo modo oppure è totalmente sbagliato?
Risposte
Ciao Daenerys, non credi sia più comodo e veloce applicare il teorema di Rouche-Capelli? 
$( (1,t,1,1),(t+1,t+1,2,1) ) -> H21(-t-1) -> ( (1,t,1,1),(0, 1-t^2,1-t,-t) ) $
Se $t=1$ allora $r(A)\ne r(A|B) ->$ nessuna soluzione
Se $t\ne$ 1 allora $r(A) = r(A|B) = 2 ->$ 1 sola soluzione
$( (1,t,1,1),(t+1,t+1,2,1) ) -> H21(-t-1) -> ( (1,t,1,1),(0, 1-t^2,1-t,-t) ) $
Se $t=1$ allora $r(A)\ne r(A|B) ->$ nessuna soluzione
Se $t\ne$ 1 allora $r(A) = r(A|B) = 2 ->$ 1 sola soluzione
Ti ringrazio per la correzione!
Inoltre vorrei sapere se l'esercizio si conclude così, oppure se bisogna proseguire in qualche modo (trovando anche il valori di x, y e z).
E' possibile trovarli?
Inoltre vorrei sapere se l'esercizio si conclude così, oppure se bisogna proseguire in qualche modo (trovando anche il valori di x, y e z).
E' possibile trovarli?
In genere negli esercizi di questo tipo io ho sempre visto che la richiesta è di studiare la risolubilità del sistema, ma non di determinarne anche le soluzioni.
Immagino si possano determinare sotto forma di $Span$, ma in genere lo si richiede in altri tipi di esercizi
Immagino si possano determinare sotto forma di $Span$, ma in genere lo si richiede in altri tipi di esercizi
Lo Span si ottiene prendendo una sottomatrice e calcolando i valori delle mie incognite (x e y; y e z o x e z) mediante il teorema di Cramer? Oppure risulta sbagliato se calcolato in questo modo?
viewtopic.php?f=37&t=156476&p=974776#p974776
Prova a vedere in quel topic, c'è un esempio di un sistema in cui le soluzioni sono state espresse sotto forma di $Span$
Prova a vedere in quel topic, c'è un esempio di un sistema in cui le soluzioni sono state espresse sotto forma di $Span$
Ho provato a risolverlo di nuovo.
Abbiamo detto che :
Per t=1 nessuna soluzione perchè rgA $ != $ rg A completa
Per t= -1 esistono $ oo^1 $ soluzioni
Per t $ != $ 1 e -1 esistono $ oo^1 $ soluzioni
Dopodichè proseguo riscrivendo il mio sistema e trovandomi le soluzioni con Cramer:
$ { ( (t+1)x + (t+1)y = 1-2a ),( x + ty= 1-a ):} $
$ X=| ( 1-2a , t+1 ),( 1-a , t ) |/(t^2-1)= (-at-1+a)/(t^2-1) $
$ Y= | ( t+1 , 1-2a ),( 1 , 1-a ) |/(t^2-1) = (t-at+a)/(t^2-1) $
$ Z= a $
Sono corretti procedimento e risultati?
Abbiamo detto che :
Per t=1 nessuna soluzione perchè rgA $ != $ rg A completa
Per t= -1 esistono $ oo^1 $ soluzioni
Per t $ != $ 1 e -1 esistono $ oo^1 $ soluzioni
Dopodichè proseguo riscrivendo il mio sistema e trovandomi le soluzioni con Cramer:
$ { ( (t+1)x + (t+1)y = 1-2a ),( x + ty= 1-a ):} $
$ X=| ( 1-2a , t+1 ),( 1-a , t ) |/(t^2-1)= (-at-1+a)/(t^2-1) $
$ Y= | ( t+1 , 1-2a ),( 1 , 1-a ) |/(t^2-1) = (t-at+a)/(t^2-1) $
$ Z= a $
Sono corretti procedimento e risultati?
mmm in realtà non mi tornano ancora i risultati della prima parte, prova a guardarti bene cosa dice il teorema di Rouche-Capelli
Ci ho riflettuto ma non riesco veramente a capire dove possa essere l'errore.
Mi calcolo il determinante della sottomatrice A' che viene: $ t^2-1 $
da cui: $ t= +- 1 $
Rg(A)=rg(A')=rg(AB)=2 per t diverso da +-1 quindi 3 (incognite) -2(rango)= $ oo^1 sol $
Rg (A)=rg(A')= 1 per t=1 ma siccome il rango della mia matrice completa (AB) è pari a 2, non esiste nessuna soluzione.
Rg (A)=rg(A')=rg(AB)= 2 per t= -1 quindi esistono $ oo^1 sol $
Cosa c'è di sbagliato in questo?
Mi calcolo il determinante della sottomatrice A' che viene: $ t^2-1 $
da cui: $ t= +- 1 $
Rg(A)=rg(A')=rg(AB)=2 per t diverso da +-1 quindi 3 (incognite) -2(rango)= $ oo^1 sol $
Rg (A)=rg(A')= 1 per t=1 ma siccome il rango della mia matrice completa (AB) è pari a 2, non esiste nessuna soluzione.
Rg (A)=rg(A')=rg(AB)= 2 per t= -1 quindi esistono $ oo^1 sol $
Cosa c'è di sbagliato in questo?
La sottomatrice A di cui calcoli il determinante quale sarebbe?
Comunque non so a cosa ti serva fare il calcolo del determinante... io per discutere la risolubilità di un sistema utilizzo questo metodo
Comunque non so a cosa ti serva fare il calcolo del determinante... io per discutere la risolubilità di un sistema utilizzo questo metodo
"WeP":
Ciao Daenerys, non credi sia più comodo e veloce applicare il teorema di Rouche-Capelli?
$( (1,t,1,1),(t+1,t+1,2,1) ) -> H21(-t-1) -> ( (1,t,1,1),(0, 1-t^2,1-t,-t) ) $
Se $t=1$ allora $r(A)\ne r(A|B) ->$ nessuna soluzione
Se $t\ne$ 1 allora $r(A) = r(A|B) = 2 ->$ 1 sola soluzione
Ok, grazie mille per il tempo e la pazienza.
Comunque la sottomatrice che ho preso in considerazione è:
$ ( ( t+1 , t+1 ),( 1 , t ) ) $
Comunque la sottomatrice che ho preso in considerazione è:
$ ( ( t+1 , t+1 ),( 1 , t ) ) $
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