Matrice 2x2: indici e zero divisori (dubbi)
Sera a tutti,
cerco un aiuto per comprendere la correzione di un esercizio, si dovevano provare varie proprietà della moltiplicazione e addizione di matrici 2x2. Tuttavia c'è un uso degli indici che non capisco, ho provato a interpretarlo ma proprio non riesco.
Per la somma il tutor scrive:
es associiatività: $((A+B)*C)_(ij)=(A*B)_(ij)+C_(ij)=A_(ij)+B_(ij)-C_(ij)+...$ insomma non caspisco come vedere quegli indici.
Per il prodotto ancora peggio:
proviamo la associatività $((A*B)*C)_(ij)=sum_k(A*B)_(ik)C_(kj)=sum_ksum_hA_(ih)B_(hk)C_(kj)=$
$sum_hsum_kA_(ih)B_(hk)C_(kj)=sum_hA_(ih)sumB_(hk)C_(kj)=...$
Non ho davvero capito come sfruttarli.
cerco un aiuto per comprendere la correzione di un esercizio, si dovevano provare varie proprietà della moltiplicazione e addizione di matrici 2x2. Tuttavia c'è un uso degli indici che non capisco, ho provato a interpretarlo ma proprio non riesco.
Per la somma il tutor scrive:
es associiatività: $((A+B)*C)_(ij)=(A*B)_(ij)+C_(ij)=A_(ij)+B_(ij)-C_(ij)+...$ insomma non caspisco come vedere quegli indici.
Per il prodotto ancora peggio:
proviamo la associatività $((A*B)*C)_(ij)=sum_k(A*B)_(ik)C_(kj)=sum_ksum_hA_(ih)B_(hk)C_(kj)=$
$sum_hsum_kA_(ih)B_(hk)C_(kj)=sum_hA_(ih)sumB_(hk)C_(kj)=...$
Non ho davvero capito come sfruttarli.
Risposte
Allora, in teoria se \( A = {(a_{ij})}_{\substack{1\leqq i\leqq m\\1\leqq j\leqq n}} \) è una matrice \( m\times n \) e \( 1\leqq i\leqq m \) e \( 1\leqq j\leqq n \) il tuo tutor scrive \( {(A)}_{ij} \) per denotare l'entrata \( a_{ij} \) di \( A \).
Con questa convenzione, hai che se \( A \) è una matrice \( s\times r \) e \( B \) è una matrice \( t\times s \), il loro prodotto è la matrice \( BA \) di dimensione \( t\times r \) di componenti
\[
{(BA)}_{i_3i_1} = \sum_{1\leqq i_2\leqq s}b_{i_3i_2}a_{i_2i_1}
\] per ogni \( 1\leqq i_3\leqq t \) e \( 1\leqq i_1\leqq r \). A questo punto, se ci aggiungi una matrice \( C \) di dimensione \( u\times t \), hai che sia \( C(BA) \) che \( (CB)A \) sono matrici di dimensione \( u\times r \), e per ogni \( 1\leqq i_4\leqq u \) e per ogni \( 1\leqq i_1\leqq r \) hai che
\[
{[C(BA)]}_{i_4i_1} = \sum_{1\leqq i_3\leqq t}c_{i_4i_3}{(BA)}_{i_3i_1} = \sum_{1\leqq i_3\leqq t}{c_{i_4i_3}{\left(\sum_{1\leqq i_2\leqq s}b_{i_3i_2}a_{i_2i_1}\right)}} = \sum_{1\leqq i_2\leqq s}{{\left(\sum_{1\leqq i_3\leqq t}c_{i_4i_3}b_{i_3i_2}\right)}a_{i_2i_1}} = \sum_{1\leqq i_2\leqq s}{(CB)}_{i_4i_2}A_{i_2i_1} = {[(CB)A]}_{i_4i_1}
\] in teoria.
Con questa convenzione, hai che se \( A \) è una matrice \( s\times r \) e \( B \) è una matrice \( t\times s \), il loro prodotto è la matrice \( BA \) di dimensione \( t\times r \) di componenti
\[
{(BA)}_{i_3i_1} = \sum_{1\leqq i_2\leqq s}b_{i_3i_2}a_{i_2i_1}
\] per ogni \( 1\leqq i_3\leqq t \) e \( 1\leqq i_1\leqq r \). A questo punto, se ci aggiungi una matrice \( C \) di dimensione \( u\times t \), hai che sia \( C(BA) \) che \( (CB)A \) sono matrici di dimensione \( u\times r \), e per ogni \( 1\leqq i_4\leqq u \) e per ogni \( 1\leqq i_1\leqq r \) hai che
\[
{[C(BA)]}_{i_4i_1} = \sum_{1\leqq i_3\leqq t}c_{i_4i_3}{(BA)}_{i_3i_1} = \sum_{1\leqq i_3\leqq t}{c_{i_4i_3}{\left(\sum_{1\leqq i_2\leqq s}b_{i_3i_2}a_{i_2i_1}\right)}} = \sum_{1\leqq i_2\leqq s}{{\left(\sum_{1\leqq i_3\leqq t}c_{i_4i_3}b_{i_3i_2}\right)}a_{i_2i_1}} = \sum_{1\leqq i_2\leqq s}{(CB)}_{i_4i_2}A_{i_2i_1} = {[(CB)A]}_{i_4i_1}
\] in teoria.
Ah forse con la tua considerazione ho compreso, in pratica fisso i,j per ogni entrata e faccio correre la sommatoria lungo la riga e la colonna data, poi cambio i,j ecc
Allora, se la domanda è perché
\[
\sum_{1\leqq i_3\leqq t}{c_{i_4i_3}{\left(\sum_{1\leqq i_2\leqq s}b_{i_3i_2}a_{i_2i_1}\right)}} = \sum_{1\leqq i_2\leqq s}{{\left(\sum_{1\leqq i_3\leqq t}c_{i_4i_3}b_{i_3i_2}\right)}a_{i_2i_1}}
\] ti consiglio di armarti di pazienza e di un foglio grande, e di convincertene esplicitando le sommatorie. Poi sì, si dovrebbe poter dimostrare per davvero per induzione.
\[
\sum_{1\leqq i_3\leqq t}{c_{i_4i_3}{\left(\sum_{1\leqq i_2\leqq s}b_{i_3i_2}a_{i_2i_1}\right)}} = \sum_{1\leqq i_2\leqq s}{{\left(\sum_{1\leqq i_3\leqq t}c_{i_4i_3}b_{i_3i_2}\right)}a_{i_2i_1}}
\] ti consiglio di armarti di pazienza e di un foglio grande, e di convincertene esplicitando le sommatorie. Poi sì, si dovrebbe poter dimostrare per davvero per induzione.
Grazie mille 
Posso chiederti un altro chiarimento gentilmente?
Siccome è correlato all'esercizio lo scrivo qui, magari generalizzo poi il titolo della discussione.
In praticolare ci sono vari studi sulla matrice 2x2 di cui parlavo e richiede di trovare gli zero divisori, si dimostra che le matrici 2x2 sono un anello (chiamiamolo R) e la correzione esplicita: $zd(R)={A in R | detA=0}$[nota]zd = zero divisori di..[/nota]
Per provarlo scrive la doppia inclusione, tuttavia non capisco $⊇$
sempre la soluzione riporta:
per hp:
$A in R t.c det(A)=0$
ora si hanno due casi
- $A=0_R =>A in zd(R)$
- $A !=0_r [...]$
Mi mette in crisi il primo risultato perché, in teoria, uno zero divisore non è per definizione diverso da zero?
Posso chiederti un altro chiarimento gentilmente?
Siccome è correlato all'esercizio lo scrivo qui, magari generalizzo poi il titolo della discussione.
In praticolare ci sono vari studi sulla matrice 2x2 di cui parlavo e richiede di trovare gli zero divisori, si dimostra che le matrici 2x2 sono un anello (chiamiamolo R) e la correzione esplicita: $zd(R)={A in R | detA=0}$[nota]zd = zero divisori di..[/nota]
Per provarlo scrive la doppia inclusione, tuttavia non capisco $⊇$
sempre la soluzione riporta:
per hp:
$A in R t.c det(A)=0$
ora si hanno due casi
- $A=0_R =>A in zd(R)$
- $A !=0_r [...]$
Mi mette in crisi il primo risultato perché, in teoria, uno zero divisore non è per definizione diverso da zero?
"alboos":No, assolutamente.
[...] uno zero divisore non è per definizione diverso da zero?
Ah ecco, allora mi sa che è un lapsus del Prof. a lezione perché mi è stato proprio definito come un elemento $a$ diverso dal nullo tale che esiste $b!=0$ tale che $a*b=0$.
Però questo mi confonde perché a sua volta un dominio di integrità ha detto essere un anello $A!={0_A}$ tale che non abbia zero divisori.
In altre parole $forall a,b in A, a*b=0 => a=0 or b=0$ (*)
o ancora per contronominale $forall a,b in A a!=0 and b!=0 => a*b!=0$
ma tutto ciò è vero non prendendo zero in considerazione! Perché quando (*) è vera, in realtà lo zero se mettiamo a=0 ciò rende anche vero che a può essere zero divisore, ma ciò contraddice cquando dice che un dominio è privo di zero divisori..
Insomma si contraddice l'includere lo zero.
Ora sono un po' confuso, questo ad esempio l'ho trovato online ed è di unimi e lo definisce come il mio prof.
Però questo mi confonde perché a sua volta un dominio di integrità ha detto essere un anello $A!={0_A}$ tale che non abbia zero divisori.
In altre parole $forall a,b in A, a*b=0 => a=0 or b=0$ (*)
o ancora per contronominale $forall a,b in A a!=0 and b!=0 => a*b!=0$
ma tutto ciò è vero non prendendo zero in considerazione! Perché quando (*) è vera, in realtà lo zero se mettiamo a=0 ciò rende anche vero che a può essere zero divisore, ma ciò contraddice cquando dice che un dominio è privo di zero divisori..
Insomma si contraddice l'includere lo zero.
Ora sono un po' confuso, questo ad esempio l'ho trovato online ed è di unimi e lo definisce come il mio prof.
Sarà uno svarione: un elemento \(\displaystyle a\) di un anello commutativo (ed unitario) \(\displaystyle R\) si definisce divisore dello zero se il morfismo di anelli \(\displaystyle\cdot a:R\to R\) non è iniettivo!
Ti ringrazio tantissimo per l'aiuto, resta comunque il punto che sono confuso sull'affermazione:
Perché un dominio di integrità allora , stando così le cose, dovrebbe sempre avere lo zero al suo interno e è falso dire " un dominio di integrità non ha zero divisori". Giusto?
Però questo mi confonde perché a sua volta un dominio di integrità ha detto essere un anello A≠{0A} tale che non abbia zero divisori.
Perché un dominio di integrità allora , stando così le cose, dovrebbe sempre avere lo zero al suo interno e è falso dire " un dominio di integrità non ha zero divisori". Giusto?
Stanti costì i fatti: un anello (commutativo ed unitario) è un dominio di integrità se e solo se non ha divisori dello zero non banali!
Ti torna?
Ti torna?
Sì era proprio la conferma che volevo sentire! Così in sostanza escludo lo zero[nota]il sassolino triviale/banale[/nota] che mi dava fastidio nella scarpa. Mi sembra piacermi di più 
Grazie mille per la pazienza e ne approfitto per augurare buone feste
Grazie mille per la pazienza e ne approfitto per augurare buone feste
Prego, di nulla.
P.S.: il titolo va bene adesso!
P.S.: il titolo va bene adesso!
Scusate se intervengo ma la discussione mi ha incuriosito, infatti anche a me è stato definito come diverso dal nullo. Inoltre la definizione data includendo nello zero divisore anche 0 mi sembra crearmi confusione, mi spiego:
Come dice j18eos devo declinare il dominio di integrità come: un anello (commutativo ed unitario) è un dominio di integrità se e solo se non ha divisori dello zero non banali.
Tuttavia viene anche definito come:
dominio è l'anello A tale che per ogni a,b $a*b=0 => a=0 or b=0$ (D) ed è negando quest'ultima che ne viene: esiste $a!=0$ esiste $b!=0$ tali che $a*b=0$ (definizione di zero divisore). Ora, se mantengo lo zero come zero divisore mi crea un problema sulla definizione (D) per a=0 perché una non è più la negazione dell'altra. Forse la comodità di escludere lo zero sta qui? Ma se lo includo non ho più questa dualità diciamo.
Come dice j18eos devo declinare il dominio di integrità come: un anello (commutativo ed unitario) è un dominio di integrità se e solo se non ha divisori dello zero non banali.
Tuttavia viene anche definito come:
dominio è l'anello A tale che per ogni a,b $a*b=0 => a=0 or b=0$ (D) ed è negando quest'ultima che ne viene: esiste $a!=0$ esiste $b!=0$ tali che $a*b=0$ (definizione di zero divisore). Ora, se mantengo lo zero come zero divisore mi crea un problema sulla definizione (D) per a=0 perché una non è più la negazione dell'altra. Forse la comodità di escludere lo zero sta qui? Ma se lo includo non ho più questa dualità diciamo.
Per come fu spiegato a me, e dopo aver controllato su due testi (il libro di Bosch 2013 e le note di Vakil 2017) oltre che su wikipedia.en: la definizione di divisore dello zero è quella che ho fornito io!
Inoltre, l'idea non nasce dal negare la legge di annullamento del prodotto, ma dall'affermare che questa "legge" non è valida!
Infine, non so se avete studiato il campo quoziente di un dominio di integrità: in generale serve definire il campo quoziente (o campo delle frazioni) di un qualsiasi anello commutativo unitario, e in qualche maniera "non si invertono" i divisori dello zero, tra cui lo zero stesso; altrimenti si dovrebbe appesantire gli enunziati, tipo
In extremis: suggerisco di scambiare due parole colle\coi titolari dei corsi di algebra in questione.
Update: è anche vero che altri autori (Curzio 1967, Herstein 1974), invece, partono dalla negazione della legge di annullamento del prodotto; e distinguono i divisori dello zero dallo zero stesso.
Inoltre, l'idea non nasce dal negare la legge di annullamento del prodotto, ma dall'affermare che questa "legge" non è valida!
Infine, non so se avete studiato il campo quoziente di un dominio di integrità: in generale serve definire il campo quoziente (o campo delle frazioni) di un qualsiasi anello commutativo unitario, e in qualche maniera "non si invertono" i divisori dello zero, tra cui lo zero stesso; altrimenti si dovrebbe appesantire gli enunziati, tipo
[...] Consideriamo l'insieme dei divisori dello zero unito allo zero stesso. [...]Non so quanto possa aiutare tutto ciò.
In extremis: suggerisco di scambiare due parole colle\coi titolari dei corsi di algebra in questione.
Update: è anche vero che altri autori (Curzio 1967, Herstein 1974), invece, partono dalla negazione della legge di annullamento del prodotto; e distinguono i divisori dello zero dallo zero stesso.
"j18eos":
Per come fu spiegato a me, e dopo aver controllato su due testi (il libro di Bosch 2013 e le note di Vakil 2017) oltre che su wikipedia.en: la definizione di divisore dello zero è quella che ho fornito io!
Comunque non volevo dar l'idea che volessi accusare una definizione errata, lo dico solo perché non vorrei magari essermi spiegato male.
Era solo una curiosità e mi faceva piacere poterne parlare avendo letto la definizione qui che non coincideva con quella che mi era stata data e su cui ci avevo ragionato e mi era piaciuta perché pensavo di averla capita avendo notato io il legame tra negazione dell'implicazione definente un dominio e quella che potrebbe definire lo zero divisore.
Leggendo poi qui che lo zero poteva essere incluso mi aveva rattristato perché ci avevo messo un po' a notare quel legame da solo e lo vedevo infranto
.In ogni caso come dici tu avevo guardato e trovato tra vari autori diverse definizioni sia con zero che senza, e ho pensato che, trattandosi di fatto di definizione, sono entrambe più che valide solo bisogna stare attenti allo zero in taluni contesti e in altri.
Come suggerisci mi avete però dato lo spunto per parlarne coi professori titolari del corso
, per fortuna vi ho letto.
Hai fatto benissimo: ho scoperto che pure questa definizione può variare da autore ad autore! 
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