\(\mathbb{R}^3=H\oplus \langle\mathbf{u}\rangle\)?

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Trovo un esercizio sul Sernesi (Geometria I, p. 149, es. 3) che mi lascia perplesso... "Sia \(H\subset\mathbb{R}^3\) il piano di equazione \(X_1+X_2-X_3=0\) e sia \(\mathbf{u}=(0,1,1)\). Dopo aver verificato che \(\mathbb{R}^3=H\oplus \langle\mathbf{u}\rangle\), trovare l'espressione analitica della proiezione \(p:\mathbb{R}^3\to H\) nella direzione \(\langle\mathbf{u}\rangle\)".
Ecco, a me sembra proprio che \(\mathbb{R}^3\ne H\oplus \langle\mathbf{u}\rangle\)... Mi sembra anzi che \(H\cap\langle\mathbf{u}\rangle=\langle\mathbf{u}\rangle\): le coordinate di \(\mathbf{u}\), e ogni loro multiplo, risolvono l'equazione cartesiana di \(H\)...
La proiezione, secondo il libro, dovrebbe essere $p(x_1,x_2,x_3)=(x_1,(-x_1+x_2-x_3)/2,(-x_1-x_2+x_3)/2)$...
Grazie di cuore a tutti!

[apatriarca]

In effetti.. Mi sembra proprio che tu abbia ragione. Probabilmente c'è un qualche errore tipografico nel testo dell'esercizio.

[DavideGenova1]

$+oo$ grazie!!! Quando succedono queste cose mi ritrovo tra la tentazione di dire "Sarà un errore di stampa: è impossibile che sia così..." e la disperazione più buia del "Ma allora non ho capito nulla di tutto questo!"...