\( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) omeomorfo a \( \mathbb{R}^2 \)

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Consideriamo \( \mathbb{R} \) con la topologia standard e \( \mathbb{R} \times \mathbb{R} \) con la topologia prodotto. Dimostra che lo spazio risultante è omeomorfo a \( \mathbb{R}^2 \) con la topologia euclidea.

(1) Dimostriamo che per ogni aperto \( U \) nella topologia euclidea abbiamo che \( U \) è aperto nella topologia prodotto. È sufficiente dimostrare che per ogni punto \( x \in U \) esiste un insieme \( U' \) tale che è aperto rispetto alla topologia prodotto e tale che \( x \in U' \subset U \). (perché questo è sufficiente?)
Pertanto abbiamo che siccome \( U \) è aperto con la topologia euclidea esiste un \( \delta >0 \) tale che \( B_{\mathbb{R}^2}(x,\delta) \subset U \), e ponendo \( x = (x_1,x_2) \) abbiamo che l'insieme
\( U' = B_{\mathbb{R}}(x_1,\delta/4) \times B_{\mathbb{R}}(x_2,\delta/4) \) funziona.


(2) Inversamente dimostriamo che per ogni aperto \( V \) nella topologia prodotto abbiamo che \( V \) è aperto nella topologia euclidea.
Siccome \( V \) è aperto nella topologia prodotto abbiamo che per ogni \( x \in V \) possiamo trovare una scatola \(B_{\mathbb{R}}(x,\delta) \times B_{\mathbb{R}}(x,\delta') \subset V \)
Osserviamo ora che
\( B_{\mathbb{R}^2}(x,\delta''/4) \subset B_{\mathbb{R}}(x,\delta) \times B_{\mathbb{R}}(x,\delta') \)
dove \( \delta'' = \min\{\delta, \delta' \} \).
Anche qui non capisco come mai la medesima argomentazione del punto (1) dimostri quanto voluto.

Pertanto abbiamo che le due topologie sono la medesima topologia e segue che l'identità è un omeomorfismo.

[Reyzet]

Ha fatto vedere che una topologia è più fine dell'altra e viceversa, osservando che ogni aperto in una delle topologie è intorno aperto di ogni proprio punto nell'altra topologia (per esempio nel (1) ogni insieme U per ogni punto x contiene un aperto nella topologia prodotto contentnete x e quindi è intorno di x nel senso della topologia eiclidea) , e quindi aperto in quest'ultima topologia.

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"Reyzet":Ha fatto vedere che una topologia è più fine dell'altra e viceversa

Scusa l'ignoranza, cosa vuol dire che una topologia è più fine? (non studio in italiano quindi non ho mai sentito questo termine)

Quello che non capisco è questa implicazione

"Reyzet":
ogni aperto in una delle topologie è intorno aperto di ogni proprio punto nell'altra topologia [...] quindi aperto in quest'ultima topologia.

Edit: cioé non vedo come avendo \( U \in \tau_{E, \mathbb{R}^2 } \) (topologia euclidea del piano) e per ogni \(x \in U \) avere \(x \in U' \in \tau_{ \mathbb{R} \times \mathbb{R} } \) (topologia prodotto) tale che \( U' \subset U \) mi renda \( U \in \tau_{\mathbb{R} \times \mathbb{R} } \).

[otta96]

"3m0o":Scusa l'ignoranza, cosa vuol dire che una topologia è più fine?

Una topologia $\tau_1$ si dice più fine (in inglese finer o talvolta anche stronger) di un'altra topologia $\tau_2$ (poste sullo stesso insieme) se la contiene, ovvero $\tau_2\subseteq\tau_1$.
Il modo standard di dimostrare che $\tau_2\subseteq\tau_1$ è quello di prendere un aperto $A$ da $\tau_2$, poi dimostrare che $AAx\inAEEA_x\in\tau_1$ tale che $x\inA_x\subseteq A$.
Così puoi dedurre che $A=uuu_(x\inA)A_x\in\tau_1$.
Nella tua soluzione questo è proprio quello che fa per dimostrare che le due topologie sono una più fine dell'altra, quindi sono la stessa.

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"otta96":
Una topologia $\tau_1$ si dice più fine (in inglese finer o talvolta anche stronger) di un'altra topologia $\tau_2$ (poste sullo stesso insieme) se la contiene, ovvero $\tau_2\subseteq\tau_1$.
Il modo standard di dimostrare che $\tau_2\subseteq\tau_1$ è quello di prendere un aperto $A$ da $\tau_2$, poi dimostrare che $AAx\inAEEA_x\in\tau_1$ tale che $x\inA_x\subseteq A$.
Così puoi dedurre che $A=uuu_(x\inA)A_x\in\tau_1$.
Nella tua soluzione questo è proprio quello che fa per dimostrare che le due topologie sono una più fine dell'altra, quindi sono la stessa.

Okay sì, ora mi è chiaro, sicché \( A = \bigcup_{x \in A} A_x \) e gli \( A_x \in \tau_1 \) abbiamo che \( A \) essendo unione di aperti di \( \tau_1 \) è aperto in \( \tau_1 \).
Nella dimostrazione però applica questo principio due volte mi sembra (anche se non dovrebbe cambiare nulla).
In quanto in (1) le palle \( B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta) \) sono una base della topologia euclidea abbiamo che un aperto \( U \) per la topologia euclidea è dato da
\[ U = \bigcup_{x \in U} B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) \]
Lui pone \( U_x' = B_{\mathbb{R}}(x_1,\delta_{x_1}) \times B_{\mathbb{R}}(x_2,\delta_{x_2}) \subset B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) \)
dove \( x=(x_1,x_2 ) \) pertanto abbiamo che
\[ U = \bigcup_{x \in U} B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) = \bigcup_{x \in U} U_x' \]
E nel punto (2) abbiamo che \(B_{\mathbb{R}}(x,\delta) \times B_{\mathbb{R}}(y,\delta') \) sono una base della topologia prodotto.

Mi domando se lui dimostri che gli elementi della base della topologia \( \tau_1 \) sono anche aperti nella topologia \( \tau_2 \) allora questo automaticamente dimostra che \( \tau_1 \subseteq \tau_2 \), per il fatto che ciascun elemento della topologia \( \tau_1 \) è dato da un arbitraria unione di elementi della base. E quindi che lui dimostra che \(y \in U_y' \subset B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) \) per ogni \( y \in B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) \) oppure no.

[otta96]

"3m0o":Okay sì, ora mi è chiaro, sicché \( A = \bigcup_{x \in A} A_x \) e gli \( A_x \in \tau_1 \) abbiamo che \( A \) essendo unione di aperti di \( \tau_1 \) è aperto in \( \tau_1 \).

Esatto.

Nella dimostrazione però applica questo principio due volte mi sembra (anche se non dovrebbe cambiare nulla).

Si, perché deve dimostrare la doppia inclusione.

In quanto in (1) le palle \( B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta) \) sono una base della topologia euclidea abbiamo che un aperto \( U \) per la topologia euclidea è dato da
\[ U = \bigcup_{x \in U} B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) \]
Lui pone \( U_x' = B_{\mathbb{R}}(x_1,\delta_{x_1}) \times B_{\mathbb{R}}(x_2,\delta_{x_2}) \subset B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) \)
dove \( x=(x_1,x_2 ) \) pertanto abbiamo che
\[ U = \bigcup_{x \in U} B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) = \bigcup_{x \in U} U_x' \]
E nel punto (2) abbiamo che \(B_{\mathbb{R}}(x,\delta) \times B_{\mathbb{R}}(y,\delta') \) sono una base della topologia prodotto.

In altre parole in $1)$ dimostra che la topologia euclidea è meno fine di quella prodotto, in $2)$ dimostra che quella prodotto è meno fine di quella euclidea. Quindi sono uguali.

Mi domando se lui dimostri che gli elementi della base della topologia \( \tau_1 \) sono anche aperti nella topologia \( \tau_2 \) allora questo automaticamente dimostra che \( \tau_1 \subseteq \tau_2 \), per il fatto che ciascun elemento della topologia \( \tau_1 \) è dato da un arbitraria unione di elementi della base. E quindi che lui dimostra che \(y \in U_y' \subset B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) \) per ogni \( y \in B_{\mathbb{R}^2 }(x,\delta_x) \) oppure no.

Si, sono equivalenti i fatti "$\tau_1\subseteq\tau_2$" e "ogni elemento di una base di $\tau_1$ è aperto in $\tau_2$", proprio per il motivo che hai detto tu.