Matematica discreta, matrice diagonale...
Ciao a tutti,
sto provando a fare quest'esercizio di un vecchio esame di matematica discreta, ma non ne esco. Eccovi il testo:
Considerati i vettori u1(2,0,0) u2(1,1,0) u3(1,-1,2) [rispetto alla base canonica C={e1,e2,e3} di R^3], trovare la matrice A associata, rispetto a C, all'endomorfismo f definito da f(ei)=ui e determinare, se esiste, una matrice simile ad A che sia in forma diagonale.
allora provo a risolverlo sin a dove arrivo
e1(1,0,0) u1=f(e1)=(2,0,0)
e2(0,1,0) u2=f(e2)=(1,1,0)
e3(0,0,1) u3=f(e3)=(1,-1,2)
la matrice associata rispetto a C, sarebbe questa giusto?
|2 1 1|
|0 1 -1| chiamiamola A
|0 0 2|
ora per trovarmi la matrice simile in forma diagonale dovrei trovarmi gli autovettori giusto?
quindi il det(A-xI) che si vede facilmente:
det(A-xI)=(2-x)(1-x)(2-x)
quindi i valori sono x=2 x=1 e x=2
ora da questo punto non so più cosa fare...
Grazie mille per l'eventuale aiuto!
sto provando a fare quest'esercizio di un vecchio esame di matematica discreta, ma non ne esco. Eccovi il testo:
Considerati i vettori u1(2,0,0) u2(1,1,0) u3(1,-1,2) [rispetto alla base canonica C={e1,e2,e3} di R^3], trovare la matrice A associata, rispetto a C, all'endomorfismo f definito da f(ei)=ui e determinare, se esiste, una matrice simile ad A che sia in forma diagonale.
allora provo a risolverlo sin a dove arrivo
e1(1,0,0) u1=f(e1)=(2,0,0)
e2(0,1,0) u2=f(e2)=(1,1,0)
e3(0,0,1) u3=f(e3)=(1,-1,2)
la matrice associata rispetto a C, sarebbe questa giusto?
|2 1 1|
|0 1 -1| chiamiamola A
|0 0 2|
ora per trovarmi la matrice simile in forma diagonale dovrei trovarmi gli autovettori giusto?
quindi il det(A-xI) che si vede facilmente:
det(A-xI)=(2-x)(1-x)(2-x)
quindi i valori sono x=2 x=1 e x=2
ora da questo punto non so più cosa fare...
Grazie mille per l'eventuale aiuto!
Risposte
[mod="Martino"]Benvenuto nel forum.
Capisco che l'esame si chiami matematica discreta, ma questo problema riguarda l'algebra lineare.
Sposto.[/mod]
Capisco che l'esame si chiami matematica discreta, ma questo problema riguarda l'algebra lineare.
Sposto.[/mod]
ciao. penso che fin qui il tuo procedimento sia giusto! ora non devi fare altro che trovarti gli autovettori relativi agli autovalori. per farlo devi risolvere (A - 2I)x = 0 e (A - I)x = 0. il primo autospazio avrà dimensione 2 perchè il suo autovalore aveva molteplicità 2, mentre l'altro autospazio avrà dimensione 1. le basi che troverai non saranno altro che gli autovettori che cercavi..
allora i valori che ho trovato x=2 x=1 e x=2 cosa sono? autovalori giusto?
A-xI= $ {: ( 2-x , 1 , 1 ),( 0 , 1-x , -1 ),( 0 , 0 , 2-x ) :} $
ora seguendo il tuo ragionamento devo risolvere: (A - 2I)x = 0
${ ( 0x +y +z = 0 ),( 0x -1y -z = 0 ),( 0x +0y +0z = 0 ):} { ( y = -z ),( y = -z ),( 0 = 0 ):} $
e (A - I)x = 0
${ ( x +y +z=0 ),( 0x +0y -z=0 ),( 0x +0y+z=0 ):} { ( x=-y ),( z=0 ),( z=0 ):} $
...allora provando a risolverlo e cercando post simili ho trovato questo:
una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e quella geometrica di tutti gli autovalori sono uguali...
Il calcolo della molteplicità algebrica lo faccio ricavando le soluzioni del polinomio caratteristico... quindi x=2 x=1 e x=2
Il calcolo della molteplicità geometrica lo posso fare (che io sappia) in due modi...o riducendo la matrice a gradini e trovando il rango (il numero dei pivot) oppure risolvendo il sistema e vedendo il numero di variabili libere...
quindi nel primo sistema , imposta libera la z, ci sono libere z e x?
mentre nel secondo imponendo libera la y, c'è libera solo y...
è corretto?
Se sono uguali ma e mg per ogni autovalore allora è diagonalizzabile...
quindi i rispetti ma e mg sono uguali sia per il valore 1 che per il valore giusto,
quindi la matrice è diagonalizzabile... è corretto?
A-xI= $ {: ( 2-x , 1 , 1 ),( 0 , 1-x , -1 ),( 0 , 0 , 2-x ) :} $
ora seguendo il tuo ragionamento devo risolvere: (A - 2I)x = 0
${ ( 0x +y +z = 0 ),( 0x -1y -z = 0 ),( 0x +0y +0z = 0 ):} { ( y = -z ),( y = -z ),( 0 = 0 ):} $
e (A - I)x = 0
${ ( x +y +z=0 ),( 0x +0y -z=0 ),( 0x +0y+z=0 ):} { ( x=-y ),( z=0 ),( z=0 ):} $
...allora provando a risolverlo e cercando post simili ho trovato questo:
una matrice è diagonalizzabile se la molteplicità algebrica e quella geometrica di tutti gli autovalori sono uguali...
Il calcolo della molteplicità algebrica lo faccio ricavando le soluzioni del polinomio caratteristico... quindi x=2 x=1 e x=2
Il calcolo della molteplicità geometrica lo posso fare (che io sappia) in due modi...o riducendo la matrice a gradini e trovando il rango (il numero dei pivot) oppure risolvendo il sistema e vedendo il numero di variabili libere...
quindi nel primo sistema , imposta libera la z, ci sono libere z e x?
mentre nel secondo imponendo libera la y, c'è libera solo y...
è corretto?
Se sono uguali ma e mg per ogni autovalore allora è diagonalizzabile...
quindi i rispetti ma e mg sono uguali sia per il valore 1 che per il valore giusto,
quindi la matrice è diagonalizzabile... è corretto?
quello che dici mi sembra corretto..
e ora che abbiamo fatto tutto questo, la matrice diagonale com'è?
la matrice diagonale A è del tipo $ HBH^-1 $ dove H è una matrice composta dagli autovettori di A e B è una matrice diagonale degli autovalori di A.
in questo caso dovrebbe essere, per esempio A = $ ({: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) :}) ({: ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) :}) ({: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) :})^-1 $
a questo punto se svuoi svolgi i conti..
spero di esserti stato di aiuto..
in questo caso dovrebbe essere, per esempio A = $ ({: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) :}) ({: ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) :}) ({: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) :})^-1 $
a questo punto se svuoi svolgi i conti..
spero di esserti stato di aiuto..
e i valori di questi autovettori da dove sono usciti? e poi perchè diversi? non dovrebbero essere 2 uguali e uno diverso?
"CRIz":
e i valori di questi autovettori da dove sono usciti? e poi perchè diversi?
ti avevo detto che dovevi risolvere (A-2I)x = 0? ebbene, gli autovettori non sono altro che la base delle soluzioni. in questo caso, per esempio, $ ({: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :}) $ e $ ({: ( 0 ),( -1 ),( 1 ) :}) $ (sono due perchè la molteplicità dell'autovalore associato era 2). per quanto riguarda (A-I)x = 0, l'autovettore è, per esempio, $ ({: ( 1 ),( -1 ),( 0 ) :}) $
"CRIz":
non dovrebbero essere 2 uguali e uno diverso?
ti stai confondendo con gli auovalori!
"Sergio":
[quote="bord89"]la matrice diagonale A è del tipo $ HBH^-1 $
Chiedo scusa, ma la matrice diagonale non è $A$, ma $B$, ovvero la matrice che ha gli autovalori sulla diagonale principale.[/quote]
certo
volevo dire questo ma mi sono espresso male.. per il resto non ho detto altre stupidaggini vero?? (o almeno spero!)
"bord89":
ti avevo detto che dovevi risolvere (A-2I)x = 0? ebbene, gli autovettori non sono altro che la base delle soluzioni. in questo caso, per esempio, $ ({: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :}) $ e $ ({: ( 0 ),( -1 ),( 1 ) :}) $ (sono due perchè la molteplicità dell'autovalore associato era 2). per quanto riguarda (A-I)x = 0, l'autovettore è, per esempio, $ ({: ( 1 ),( -1 ),( 0 ) :}) $
(A-2I)x = 0 mi ha dato come soluzione $ { ( y=-t ),( z=t ),( 0=0 ):} $ quindi $ ( ( 0 , -1 , 1 ) ) $
(A-I)x = 0 mi ha dato come soluzione $ { ( x=-t ),( y=t ),( z=0 ):} $ quindi $ ( ( -1 , 1 , 0 ) ) $
e questi sono corretti, scusatemi ma sarà l'ora, non capisco da dove è uscito $ ({: ( 1 ),( 0 ),( 0 ) :}) $
....
"bord89":
[quote="Sergio"][quote="bord89"]la matrice diagonale A è del tipo $ HBH^-1 $ dove H è una matrice composta dagli autovettori di A e B è una matrice diagonale degli autovalori di A.
in questo caso dovrebbe essere, per esempio A = $ ({: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) :}) ({: ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) :}) ({: ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , -1 ),( 1 , -1 , 0 ) :})^-1 $
a questo punto se svuoi svolgi i conti..
spero di esserti stato di aiuto..
Chiedo scusa, ma la matrice diagonale non è $A$, ma $B$, ovvero la matrice che ha gli autovalori sulla diagonale principale.[/quote]
certo
volevo dire questo ma mi sono espresso male.. per il resto non ho detto altre stupidaggini vero?? (o almeno spero!)[/quote]quindi la matrice diagonale è solo $B$ o è tutta $ HBH^-1 $...
un'altra cosa che non mi è chiara è come si sceglie la posizione degli autovalori sulla diagonale principale..ovvero perchè ha messo (2, 2, 1) e non es (2, 1, 2)...
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