Massimi e minimi vincolati
ciao.
ho una superficie $A=x^2-y^2-x+y$
devo trovare i punti di minimo e massimo sul $D=[|x+y|<=1 , |x-y|<=1]$
prima di tutto ho trovato che $P(1/2 ; 1/2)$ è punto di sella globale e appartiene all'insieme $D$.
beh, teoricamente esso è dunque l'unico punto notevole in $D$, perchè per il resto la superficie tende a $\pm \infty$.
è giusto?
ho una superficie $A=x^2-y^2-x+y$
devo trovare i punti di minimo e massimo sul $D=[|x+y|<=1 , |x-y|<=1]$
prima di tutto ho trovato che $P(1/2 ; 1/2)$ è punto di sella globale e appartiene all'insieme $D$.
beh, teoricamente esso è dunque l'unico punto notevole in $D$, perchè per il resto la superficie tende a $\pm \infty$.
è giusto?
Risposte
$\nabla^2 A = (\partial^2 A)/(\partial x^2) + (\partial^2 A)/(\partial y^2) = 2 - 2 = 0$.
$A$ è quindi una funzione armonica e quindi vale il seguente principio del massimo:
Sia $f : U -> RR$ una funzione armonica e sia $K \subset U$ un compatto, allora $f$ ristretto a $K$ raggiunge valore massimo o minimo sulla frontiera di $K$.
Questo rispecchia in effetti quello che hai ottenuto calcolando la natura del punto critico $(1/2, 1/2)$. $D$ è compatto perché intersezione di chiusi, di cui uno limitato, e quindi chiuso e limitato. Vale allora il teorema precedente e quindi il massimo e il minimo va cercato sulla frontiera di $D$. Parametrizza in qualche modo $D$ e poi cerca i punti critici di $A \circ r$ dove $r$ è la parametrizzazione di $\partial D$. In generale comunque, quando hai un insieme compatto e non ci sono punti massimi o minimi locali al suo interno devi verificare se ci sono sulla frontiera (la presenza di massimi e minimi assoluti è infatti garantita dalla compattezza).
$A$ è quindi una funzione armonica e quindi vale il seguente principio del massimo:
Sia $f : U -> RR$ una funzione armonica e sia $K \subset U$ un compatto, allora $f$ ristretto a $K$ raggiunge valore massimo o minimo sulla frontiera di $K$.
Questo rispecchia in effetti quello che hai ottenuto calcolando la natura del punto critico $(1/2, 1/2)$. $D$ è compatto perché intersezione di chiusi, di cui uno limitato, e quindi chiuso e limitato. Vale allora il teorema precedente e quindi il massimo e il minimo va cercato sulla frontiera di $D$. Parametrizza in qualche modo $D$ e poi cerca i punti critici di $A \circ r$ dove $r$ è la parametrizzazione di $\partial D$. In generale comunque, quando hai un insieme compatto e non ci sono punti massimi o minimi locali al suo interno devi verificare se ci sono sulla frontiera (la presenza di massimi e minimi assoluti è infatti garantita dalla compattezza).
"apatriarca":
$\nabla^2 A = (\partial^2 A)/(\partial x^2) + (\partial^2 A)/(\partial y^2) = 2 - 2 = 0$.
$A$ è quindi una funzione armonica e quindi vale il seguente principio del massimo:
Sia $f : U -> RR$ una funzione armonica e sia $K \subset U$ un compatto, allora $f$ ristretto a $K$ raggiunge valore massimo o minimo sulla frontiera di $K$.
Questo rispecchia in effetti quello che hai ottenuto calcolando la natura del punto critico $(1/2, 1/2)$. $D$ è compatto perché intersezione di chiusi, di cui uno limitato, e quindi chiuso e limitato. Vale allora il teorema precedente e quindi il massimo e il minimo va cercato sulla frontiera di $D$. Parametrizza in qualche modo $D$ e poi cerca i punti critici di $A \circ r$ dove $r$ è la parametrizzazione di $\partial D$. In generale comunque, quando hai un insieme compatto e non ci sono punti massimi o minimi locali al suo interno devi verificare se ci sono sulla frontiera (la presenza di massimi e minimi assoluti è infatti garantita dalla compattezza).
ma il punto che ho trovato è l'unico punto notevole?
È l'unico punto critico della funzione.
grazie. chiedo scusa per il multipost
"apatriarca":
È l'unico punto critico della funzione.
dunque ho scoperto che l'unico punto stazionario appartiene all'intervallo che me interessa.
è dunque l'unico punto di minimo e di massimo VINCOLATO anche?
Il massimo e il minimo di quella funzione apparterranno all'immagine della frontiera di $D$ e NON possono essere trovati attraverso la ricerca dei punti stazionari della funzione. Il punto che hai trovato è un punto di sella e non è quindi né di massimo, né di minimo. Studia l'insieme $D$, trova la sua frontiera e infine calcola i punti di massimo e minimo vincolati a questo nuovo insieme.
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