Mannaggia alle basi
Mi rendo conto che sto assillando il forum con problemi da mentecatto. ma evidentemente ho un problema alla base (sulle basi) dell'algebra lineare.
Prendiamo un'applicazione lineare T:
[tex]T\begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x \\ z+2y \end{vmatrix}[/tex]
Che opera così:
[tex]T: R^3 \to R^[/tex]
Allora io già ora non so trarre le seguenti conclusioni:
Qual'è il rango, qual'è il [tex]\mbox{Ker}(T)[/tex], qual'è una base di T e qual'è una base di [tex]\mbox{Im}(T)[/tex]
Ovviamento la teoria ce l'ho tutta... ma qui manca la pratica (ad esempio ad occhio direi che il rango è 2).
Prendiamo un'applicazione lineare T:
[tex]T\begin{vmatrix} x \\ y \\ z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x \\ z+2y \end{vmatrix}[/tex]
Che opera così:
[tex]T: R^3 \to R^[/tex]
Allora io già ora non so trarre le seguenti conclusioni:
Qual'è il rango, qual'è il [tex]\mbox{Ker}(T)[/tex], qual'è una base di T e qual'è una base di [tex]\mbox{Im}(T)[/tex]
Ovviamento la teoria ce l'ho tutta... ma qui manca la pratica (ad esempio ad occhio direi che il rango è 2).
Risposte
"rango" sarebbe il rango
della matrice associata alla trasformazione lineare.
Non è
difficile ottenere quella matrice: avrà
come colonne i vettori trasformati di una base dello spazio di partenza.
Per esempio: come
opera la tua trasformazione su $ (1 , 0 , 0 )$,$( 0 , 1 , 0 )$,e $( 0 , 0 , 1 )$?
ed avrai una matrice $A$ 2x3 di cui
avrai a controllare il rango.
Poi: $T$ non ha una "base"!
Una base
dell'immagine... la hai
considerando le colonne indipendenti di $A$
Il nucleo -eh! per
definizione lo sai cos'è.
Fai moltiplicare ad $A$ un generico
vettore $(x,y,z)\inRR^3$ e poni
il risultato uguale a $(0,0)$, e risolvi
un sistema lineare omogeneo: una base
dello spazio delle soluzioni sarà base del nucleo.
della matrice associata alla trasformazione lineare.
Non è
difficile ottenere quella matrice: avrà
come colonne i vettori trasformati di una base dello spazio di partenza.
Per esempio: come
opera la tua trasformazione su $ (1 , 0 , 0 )$,$( 0 , 1 , 0 )$,e $( 0 , 0 , 1 )$?
ed avrai una matrice $A$ 2x3 di cui
avrai a controllare il rango.
Poi: $T$ non ha una "base"!
Una base
dell'immagine... la hai
considerando le colonne indipendenti di $A$
Il nucleo -eh! per
definizione lo sai cos'è.
Fai moltiplicare ad $A$ un generico
vettore $(x,y,z)\inRR^3$ e poni
il risultato uguale a $(0,0)$, e risolvi
un sistema lineare omogeneo: una base
dello spazio delle soluzioni sarà base del nucleo.
benedetto questo forum 
"orazioster":
$T$ non ha una "base"!
quanto per completezza, ho
da dire (ma non preoccuparti! è
"a parte" da quello che s'è detto!) che, in effetti, $T$ ha una base,
una base dello spazio delle funzioni lineari da $RR^3$ ad $RR^2$ (cioè la base sarà
funzioni lineari la cui combinazione lineare dia $T$) -
infatti le funzioni lineari da uno spazio vettoriale ad un altro sono, a loro
volta, uno spazio vettoriale: hanno un elemento neutro per
la somma e se le combini
linearmente, hai ancora una funzione lineare tra quegli spazi.
Il concetto di "vettore" è amplio.
A rigore -un vettore è qualsiasi cosa per
cui siano valide
le proprietà di "spazio vettoriale", che
si trova ad essere così una definizione relativamente "primaria"_
basata infatti, come è, solo
sul concetto
di "gruppo additivo commutativo", "campo" e "prodotto esterno" _che
soddisfi alcune proprietà
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