Maledetta riduzione a gradini

[mirko_b1]

Salve a tutti!
Sto diventando pazzo con una maledetta ridduzione a scala di una matrice...ecco il problema

L'esercizio mi dice che c'è un' applicazione lineare definita da:
$T(x_1;x_2;x_3)=(2kx_1-x_2;x_2+kx_3;x_1+x_2-x_3;x_1-x_2)$
e mi chiede di trovare dimensione del nucleo e dell'immagine di T al variare di K.
Quindi mi scrivo la matrice associata all'applicazione per poi ridurla a scala e vedere cosa mi salta fuori:
$((2k,-1,0),(0,1,k),(1,1,-1),(1,-1,0))$
prima prova di riduzione a scala:
$R1=R1$
$R2=R2$
$R3=2kR3-R1$
$R4=2kR4-R1$:

$((2k,-1,0),(0,1,k),(0,2k+1,-2k),(0,-2k+1,0))$

$R1=R1$
$R2=R2$
$R3=R4-(-2K+1)R2$
$R4=R3-(2K+1)R2$

$((2k,-1,0),(0,1,k),(0,0,2k^2-k),(0,0,-3k-2k^2))$

ed infine $R4=(-3k-2k^2)R3-(2k^2-k)R4
$((2k,-1,0),(0,1,k),(0,0,2k^2-k),(0,0,0))$

La quale ovviamente mi dà il risultato sbagliato in quanto la soluzione dice
$dim(Im(T))=3$ e $dim(Ker(T))=0$ $AAkinRR$
invece a me risulta che dovrebbero dipendere da $k$, sia con questa riduzione a scala che con altre tre provate, anche se tutte e tre con risultati diversi anche se errori non ne ho trovati.
Ma in teoria ogni riduzione non dovrebbe portare agli stessi risultati? se no come faccio a sapere qual'è giusta o meno?
Secondo voi ho fatto delle operazioni che non potevo fare?
Grazie mille

[squalllionheart]

Guarda che al massamo può essere $dim(KerT)=1$...per l'identita $dimV=dimImf+dimKerf$
Certo Ogni riduzione porta agli stessi risultati...A primo sguardo va bene, ma dovrei rifare tutti i conti...

[mirko_b1]

secondo me è sbagliata la soluzione che propone il libro...