Ma uno o due vettori possono generare R3?

[luca839]

Riepilogo Ma uno o due vettori qualsiasi possono o non possono generare R3?
Ad esempio S3={(1,0,0),(1,1,1)} è un sistema di generatori di R3?
Ho ancora qualche dubbietto!!!
A proposito secondo me non possono!!!

[Seneca1]

Non possono.

[luca839]

Grazie!!!

[Sessio1]

(1,0,0) e (1,1,1,) sono due vettori non allineati, quindi anche se li metti in uno spazio tridimensionale possono generare solo un piano.

[luca839]

"Sessio":(1,0,0) e (1,1,1,) sono due vettori non allineati, quindi anche se li metti in uno spazio tridimensionale possono generare solo un piano.

Scusa perchè specifichi "se sono allineati" ? Se lo fossero, 2 vettori allineati potrebbero generare R3?
Secondo me no ma smentitemi se sbaglio.
A proposito di allineati (1,1,1) e "(2,2,2) lo sono ?

[Camillo]

I vettori allineati come $(1,1,1) $ e $ (2,2,2) $ non generano un piano ma "solo " una retta , generano cioè uno spazio di dimensione 1.
Due vettori invece non allineati come $(1,0,0)$ e $( 1,1,1)$ generano un piano e quindi uno spazio di dimensione 2.
Per generare uno spazio di dimnsione 3, cioè $RR^3$ hai bisogno di 3 vettori linearmente indipendendti che sono dei generatori ma anche una base di $RR^3$.
La base canonica che genera $RR^3$ è data dai vettori $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ che sono 3 e linearmente indipendenti.
I vettori invece $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), (1,2,3)$ che sono COSTRUTI AGGIUNGNDO ALLA BASE CANONICA UN ALTRO VETTORE LINEARMENTE DIPENDENTE generano $RR^3 $ ma non sono una base di $RR^3$.

[_prime_number]

Se due vettori generassero $\mathbb{R}^3$ significherebbe che esso ha dimensione al massimo 2!

Paola