M2(R) cos'è?

[Cicciospacca1]

Sia $A=( ( 0 , 0),( 3, -4) ) in M2(R)$. Mostrare che $U={B in M2(R)|AB=0}$ è sottospazio di $M2(R)$ e calcolarne la dimensione. Determinare una base Bu di U ed estenderla ad una base B di M2(R).
Come si fa questo esercizio? Che significa M2(R)?

[garnak.olegovitc1]

@Cicciospacca,

"Cicciospacca":Sia $A=( ( 0 , 0),( 3, -4) ) in M2(R)$. Mostrare che $U={B in M2(R)|AB=0}$ è sottospazio di $M2(R)$ e calcolarne la dimensione. Determinare una base Bu di U ed estenderla ad una base B di M2(R).
Come si fa questo esercizio? Che significa M2(R)?

\( M2(R) \) penso significhi l'insieme delle matrici quadrate di ordine \( 2 \) sul campo \( \mathbb{R} \).. è per caso scritto \( M_2(\mathbb{R}) \) o alle volte \( \mathfrak{M}_2(\mathbb{R}) \)?? Se si, allora è lui..

Saluti

[Cicciospacca1]

Ok almeno una cosa l'abbiamo chiarita, ma ancora l'esercizio non lo so fare XD

[minomic]

Ciao, vediamo di arrivarci. Prendiamo
\[
A=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
3 & -4
\end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc}
b_{1} & b_{2}\\
b_{3} & b_{4}
\end{array}\right)
\]
Imponiamo la condizione richiesta, ovvero $AB=0$
\[
AB=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
3b_{1}-4b_{3} & 3b_{2}-4b_{4}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 0\\
0 & 0
\end{array}\right)
\]
quindi
\[
\begin{cases}
b_{3}=\frac{3}{4}b_{1}\\
b_{4}=\frac{3}{4}b_{2}
\end{cases}
\]
In conclusione la matrice $B$ ha la seguente forma:
\[
\left(\begin{array}{cc}
b_{1} & b_{2}\\
\frac{3}{4}b_{1} & \frac{3}{4}b_{2}
\end{array}\right)
\]
Riesci a continuare da qui?

[Cicciospacca1]

"minomic":Riesci a continuare da qui?

Innanzitutto grazie, mi hai chiarito il concetto , adesso l'esercizio chiede di calcolare una base di U, io farei così, ho la matrice B e la riduco in forma a scala, in questo caso la seconda riga si annulla, rimane il vettore $(b1,b2)$ che dovrebbe essere la base di U di dimensione 1; è corretto così o no, per favore se non si fa così potresti dirmi come procedere? Io conosco solo questo metodo, inoltre non saprei estendere la base a $M2(R)$...

[minomic]

Per prima cosa non hai ancora dimostrato che $U$ è un sottospazio di $M_2(R)$ però magari lo hai fatto per conto tuo e non hai bisogno. Se così non fosse dimmelo che vediamo di chiarire.
Per la base direi che come hai impostato tu non va bene. Devi pensare \[
B = \begin{pmatrix}b_1&b_2\\\frac{3}{4}b_1&\frac{3}{4}b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b_1&0\\\frac{3}{4}b_1&0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&b_2\\0&\frac{3}{4}b_2\end{pmatrix}
\] A questo punto porti fuori i "parametri" e ottieni \[
B = b_1\begin{pmatrix}1&0\\\frac{3}{4}&0\end{pmatrix} + b_2\begin{pmatrix}0&1\\0&\frac{3}{4}\end{pmatrix}
\] Queste due matrici sono una base del sottospazio perchè ogni matrice di tipo $B$ è ottenibile come loro combinazione lineare. Ora ti devi domandare: "Tramite combinazione lineare di queste due è possibile esprimere QUALSIASI matrice $2\times 2$?" La risposta è "Ovviamente no" dal momento che la dimensione di $M_2(R)$ è $4$, quindi per completare questa base a base di $M_2(R)$ dovrai aggiungere altre due matrici indipendenti tra loro e indipendenti dalle due già prese.

[vict85]

Siano \(B_1\) e \(B_2\) tali che \(AB_1 = AB_2 = 0\) allora \(A(\lambda_1B_1 + \lambda_2B_2) = \lambda_1AB_1 + \lambda_2AB_2 = 0\). Questo conclude la dimostrazione del fatto che sia un sottospazio vettoriale.

Relativamente alla seconda parte invece \(A\) ha rango \(1\) e quindi \(\dim\ker A = 1\). Pertanto, se interpretiamo \(B\) come una funzione lineare allora si deve avere \(\mathrm{Im}B = \ker A\). Se \(v\) genera \(\ker A\) allora il \(B\) generico ha la forma \(B(a,b) = a\lambda_1 v + b\lambda_2 v\). In altre parole \(U\) ha dimensione \(2\).