Luogo di coincidenza di due funzioni continue in un T2
L'asserto è il seguente: "Il luogo di coincidenza di due funzioni continue a valori in uno spazio di Hausdorff è chiuso."
Io l'ho interpretato nel modo che segue.
Siano [tex]$X$[/tex], [tex]$Y$[/tex] spazi topologici qualunque e sia [tex]$Z$[/tex] uno spazio topologico di Hausdorff.
Siano [tex]$f:X \to Z$[/tex] e [tex]$g:Y \to Z$[/tex] due funzioni continue.
Allora, [tex]$f(X) \cap g(Y) \subseteq Z$[/tex] è chiuso in [tex]$Z$[/tex].
Caso banale: -se le due funzioni sono entrambi suriettive, l'insieme è palesemente chiuso perché coincide con lo spazio topologico [tex]$Z$[/tex].
(Non so nemmeno se sia utile esplicitarlo, ma non si sa mai)
Altrimenti, devo dimostrare che [tex]$Z-(f(X) \cap g(Y))= (Z-f(X)) \cup (Z-g(Y)) := U$[/tex] è aperto.
Prendo un punto arbitrario appartenente a $U$ e un suo intorno arbitrario. Se dimostro che l'intorno è contenuto in $U$ è fatta. Ma sinceramente non so proprio come infilarci dentro né Hausdorff né la continuità delle funzioni.
Forse devo seguire un'altra strada.
Qualcuno ha un suggerimento?
Io l'ho interpretato nel modo che segue.
Siano [tex]$X$[/tex], [tex]$Y$[/tex] spazi topologici qualunque e sia [tex]$Z$[/tex] uno spazio topologico di Hausdorff.
Siano [tex]$f:X \to Z$[/tex] e [tex]$g:Y \to Z$[/tex] due funzioni continue.
Allora, [tex]$f(X) \cap g(Y) \subseteq Z$[/tex] è chiuso in [tex]$Z$[/tex].
Caso banale: -se le due funzioni sono entrambi suriettive, l'insieme è palesemente chiuso perché coincide con lo spazio topologico [tex]$Z$[/tex].
(Non so nemmeno se sia utile esplicitarlo, ma non si sa mai)
Altrimenti, devo dimostrare che [tex]$Z-(f(X) \cap g(Y))= (Z-f(X)) \cup (Z-g(Y)) := U$[/tex] è aperto.
Prendo un punto arbitrario appartenente a $U$ e un suo intorno arbitrario. Se dimostro che l'intorno è contenuto in $U$ è fatta. Ma sinceramente non so proprio come infilarci dentro né Hausdorff né la continuità delle funzioni.
Forse devo seguire un'altra strada.
Qualcuno ha un suggerimento?
Risposte
Prova a considerare la funzione $F$ definita in questo modo: $F: X uu Y to Z times Z$ che manda $x to (f(x), g(x))$.
Ricorda che prodotto di Hausdorff è ancora Hausdorff e che condizione necessaria e sufficiente affinchè uno spazio sia T2 è che la diagonale sia chiusa nel prodotto.
Ricorda che prodotto di Hausdorff è ancora Hausdorff e che condizione necessaria e sufficiente affinchè uno spazio sia T2 è che la diagonale sia chiusa nel prodotto.
Infatti anche a me era balenata l'idea di utilizzare la diagonale, ma non sapevo proprio come fare. A volte sono un po' troppo frettoloso, dovrei avere un po' più di pazienza 
Il problema però è che quella funzione non è ben definita perché se, ad esempio, [tex]$x \in X$[/tex] ma [tex]$x \notin X \cap Y$[/tex], hai [tex]$x \mapsto (f(x), ?)$[/tex].
Però, penso si possa lavorare in modo simile. Grazie! Dopo ci provo; se ci riesco, ti faccio sapere.
Il problema però è che quella funzione non è ben definita perché se, ad esempio, [tex]$x \in X$[/tex] ma [tex]$x \notin X \cap Y$[/tex], hai [tex]$x \mapsto (f(x), ?)$[/tex].
Però, penso si possa lavorare in modo simile. Grazie! Dopo ci provo; se ci riesco, ti faccio sapere.
Mmm, mi sa che hai ragione; però forse definendola su $X times Y$ si possono aggiustare le cose...
, ci ho riprovato, ma non mi viene in mente niente. Il fatto è che [tex]$A=\{(z_1,z_2) \in Z \times Z |\, \exists x \in X, \, \exists y \in Y \, \text{t.c.} \, z_1=f(x)=g(y)=z_2\} \subseteq \Delta_Z$[/tex] (dove con [tex]$\Delta_z$[/tex] ho indicato la diagonale di [tex]$Z \times Z$[/tex]). Se non sbaglio, definita [tex]$F: X \times Y \to Z \times Z$[/tex] come [tex]$(x,y) \mapsto (f(x),g(y))$[/tex], si può anche scrivere [tex]$A=F(X \times Y) \cap \Delta_z$[/tex]. Magari può essere d'aiuto.Inoltre, anche se riuscissi a dimostrare che [tex]$A$[/tex] è chiuso non saprei come concludere che [tex]$f(X) \cap g(Y)$[/tex] è chiuso, perché la proiezione è una funzione aperta, ma non è detto che sia chiusa.
Tu come avevi in mente di procedere?
Secondo me è molto più semplice, ma magari mi sfugge qualcosa.
Prendi [tex]F: X \times Y \to Z \times Z[/tex] definita come [tex](x,y) \mapsto (f(x),g(y))[/tex]. Considera il sottospazio [tex]\text{Im} F \subseteq Z \times Z[/tex]. Poichè [tex]Z[/tex] è Hausdorff, allora anche [tex]\text{Im} F[/tex] è T2. Considera ora la diagonale di [tex]\text{Im} F[/tex], che dovrebbe essere esattamente il luogo in cui [tex]f(x)=g(y)[/tex].
Tale sottoinsieme è chiuso per la nota caratterizzazione degli spazi T2.
Che ne pensi? C'è qualcosa che non ti torna?
Prendi [tex]F: X \times Y \to Z \times Z[/tex] definita come [tex](x,y) \mapsto (f(x),g(y))[/tex]. Considera il sottospazio [tex]\text{Im} F \subseteq Z \times Z[/tex]. Poichè [tex]Z[/tex] è Hausdorff, allora anche [tex]\text{Im} F[/tex] è T2. Considera ora la diagonale di [tex]\text{Im} F[/tex], che dovrebbe essere esattamente il luogo in cui [tex]f(x)=g(y)[/tex].
Tale sottoinsieme è chiuso per la nota caratterizzazione degli spazi T2.
Che ne pensi? C'è qualcosa che non ti torna?
Non ho letto tutto il thread, ma sul Tallini si esplicita che (secondo la tua notazione) [tex]$X=Y$[/tex] e dimostra che l'insieme [tex]$\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}$[/tex] è chiuso, ovvero l'asserto.
Sono arrugginito di topologia, ma secondo me avete interpretato il problema in modo errato.
Anche perché secondo me cercate di dimostrare una cosa falsa, prendete ad esempio per due volte la funzione identità che manda [tex]$(0,1)$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]
[tex]$i : (0,1) \to \mathbb{R}$[/tex]
[tex]$i : (0,1) \to \mathbb{R}$[/tex]
Chiaramente le ipotesi sono banalmente rispettate $i$ continua e $RR$ T2, ma l'insieme di coincidenza nel codominio è $(0,1)$
non chiuso.
Per me ha ragione j18eos, devi mostrare che l'insieme di valori del dominio tali che le funzioni coincidono è chiuso, cioè dati
[tex]$X$[/tex] dominio, [tex]$Z$[/tex] codominio (di Hausdorff) e due funzione continue
[tex]$f : X \to Z$[/tex]
[tex]$g : X \to Z$[/tex]
allora gli $x\in X$ tali che $f(x)=g(x)$ formano in sottoinsieme chiuso in $X$
Un modo per dimostrarlo è molto semplice, ne ho in mente un secondo che però non so se va bene.
Ciao!
Anche perché secondo me cercate di dimostrare una cosa falsa, prendete ad esempio per due volte la funzione identità che manda [tex]$(0,1)$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]
[tex]$i : (0,1) \to \mathbb{R}$[/tex]
[tex]$i : (0,1) \to \mathbb{R}$[/tex]
Chiaramente le ipotesi sono banalmente rispettate $i$ continua e $RR$ T2, ma l'insieme di coincidenza nel codominio è $(0,1)$
non chiuso.
Per me ha ragione j18eos, devi mostrare che l'insieme di valori del dominio tali che le funzioni coincidono è chiuso, cioè dati
[tex]$X$[/tex] dominio, [tex]$Z$[/tex] codominio (di Hausdorff) e due funzione continue
[tex]$f : X \to Z$[/tex]
[tex]$g : X \to Z$[/tex]
allora gli $x\in X$ tali che $f(x)=g(x)$ formano in sottoinsieme chiuso in $X$
Un modo per dimostrarlo è molto semplice, ne ho in mente un secondo che però non so se va bene.
Ciao!
Ah, ora è tutta un'altra storia!
Sia [tex]$U=\{x \in X | \, f(x) \neq g(x) \}$[/tex] e sia [tex]$x \in U$[/tex] un punto arbitrario.
Allora, [tex]$f(x) \neq g(x) \, \Rightarrow$[/tex] esistono aperti disgiunti [tex]$A,B$[/tex] tali che [tex]$f(x) \in A$[/tex] e [tex]$g(x) \in B$[/tex], essendo [tex]$Z$[/tex] uno spazio di Hausdorff.
[tex]$x \in f^{-1}(A) \cap g^{-1}(B)$[/tex], che è aperto grazie alla continuità delle due funzioni.
Supponiamo ora che esista [tex]$x' \in f^{-1}(A) \cap g^{-1}(B)$[/tex] e [tex]$x' \notin U$[/tex].
Allora, [tex]$z':=f(x')=g(x') \, \Rightarrow z' \in A \cap B$[/tex], che è contraddittorio visto che i due insiemi sono disgiunti.
Di conseguenze dev'essere per forza [tex]$f^{-1}(A) \cap g^{-1}(B) \subseteq U$[/tex].
In conclusione, data l'arbitrarietà del punto, per ogni punti dell'insieme [tex]U[/tex], esiste un aperto che lo contiene e interamente contenuto in [tex]U[/tex], cioè [tex]U[/tex] è aperto.
Ora l'ho dimostrato un po' velocemente, dopo magari ricontrollo, però mi sembra che possa andare in linea generale.
Grazie a tutti!
Sia [tex]$U=\{x \in X | \, f(x) \neq g(x) \}$[/tex] e sia [tex]$x \in U$[/tex] un punto arbitrario.
Allora, [tex]$f(x) \neq g(x) \, \Rightarrow$[/tex] esistono aperti disgiunti [tex]$A,B$[/tex] tali che [tex]$f(x) \in A$[/tex] e [tex]$g(x) \in B$[/tex], essendo [tex]$Z$[/tex] uno spazio di Hausdorff.
[tex]$x \in f^{-1}(A) \cap g^{-1}(B)$[/tex], che è aperto grazie alla continuità delle due funzioni.
Supponiamo ora che esista [tex]$x' \in f^{-1}(A) \cap g^{-1}(B)$[/tex] e [tex]$x' \notin U$[/tex].
Allora, [tex]$z':=f(x')=g(x') \, \Rightarrow z' \in A \cap B$[/tex], che è contraddittorio visto che i due insiemi sono disgiunti.
Di conseguenze dev'essere per forza [tex]$f^{-1}(A) \cap g^{-1}(B) \subseteq U$[/tex].
In conclusione, data l'arbitrarietà del punto, per ogni punti dell'insieme [tex]U[/tex], esiste un aperto che lo contiene e interamente contenuto in [tex]U[/tex], cioè [tex]U[/tex] è aperto.
Ora l'ho dimostrato un po' velocemente, dopo magari ricontrollo, però mi sembra che possa andare in linea generale.
Grazie a tutti!
@ Steven: heilà, che piacere risentirti
Ah, ok, così è tutta un'altra storia. Io avevo seguito Antimius e pensavo di conseguenza di dover prendere due domini distinti.
D'altra parte se il dominio è lo stesso (mettiamo $X$), la faccenda mi pare abbastanza semplice, per non dire immediata: prendi $F: X to Z times Z$ che manda $x to (f(x),g(x))$; la diagonale è chiusa, la funzione $F$ è continua (proprietà universale del prodotto) e quindi la controimmagine della $Delta$ mediante $F$ è chiusa.
E' questo che il problema chiedeva?
"Steven":
Sono arrugginito di topologia, ma secondo me avete interpretato il problema in modo errato.
Anche perché secondo me cercate di dimostrare una cosa falsa, prendete ad esempio per due volte la funzione identità che manda [tex]$(0,1)$[/tex] in [tex]$\mathbb{R}$[/tex]
[tex]$i : (0,1) \to \mathbb{R}$[/tex]
[tex]$i : (0,1) \to \mathbb{R}$[/tex]
Chiaramente le ipotesi sono banalmente rispettate $i$ continua e $RR$ T2, ma l'insieme di coincidenza nel codominio è $(0,1)$ non chiuso.
Per me ha ragione j18eos, devi mostrare che l'insieme di valori del dominio tali che le funzioni coincidono è chiuso, cioè dati
[tex]$X$[/tex] dominio, [tex]$Z$[/tex] codominio (di Hausdorff) e due funzione continue
[tex]$f : X \to Z$[/tex]
[tex]$g : X \to Z$[/tex]
allora gli $x\in X$ tali che $f(x)=g(x)$ formano in sottoinsieme chiuso in $X$
Un modo per dimostrarlo è molto semplice, ne ho in mente un secondo che però non so se va bene.
Ah, ok, così è tutta un'altra storia. Io avevo seguito Antimius e pensavo di conseguenza di dover prendere due domini distinti.
D'altra parte se il dominio è lo stesso (mettiamo $X$), la faccenda mi pare abbastanza semplice, per non dire immediata: prendi $F: X to Z times Z$ che manda $x to (f(x),g(x))$; la diagonale è chiusa, la funzione $F$ è continua (proprietà universale del prodotto) e quindi la controimmagine della $Delta$ mediante $F$ è chiusa.
E' questo che il problema chiedeva?
Sì, sicuramente hanno ragione loro, ha anche più senso l'asserto in questa forma.
"Paolo90":
Ah, ok, così è tutta un'altra storia. Io avevo seguito Antimius e pensavo di conseguenza di dover prendere due domini distinti.
D'altra parte se il dominio è lo stesso (mettiamo $X$), la faccenda mi pare abbastanza semplice, per non dire immediata: prendi $F: X to Z times Z$ che manda $x to (f(x),g(x))$; la diagonale è chiusa, la funzione $F$ è continua (proprietà universale del prodotto) e quindi la controimmagine della $Delta$ mediante $F$ è chiusa.
E' questo che il problema chiedeva?
Direi proprio di sì
@Antimius Hai usato una dimostrazione per contrapposizione, complimenti!
@Paolo90 Superba dimostrazione!
@Paolo90 Superba dimostrazione!
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