Luogo dei punti equidistanti da una retta e da un piano
Ciao...
purtroppo sono ancora qui a postare....sintomo che dopo la terza volta non riesco ancora a superare questo esame di geometria
Sto cercando di risolvere questo esercizio che era nel compito...
"Scrivere una equazione cartesiana della superficie $Q$ $sub$$E^3$ luogo dei punti equidistanti dall'asse $z$ e dal piano $x+y+z=0$
$Q$ contiene qualche retta? se sì esibirne una."
Vuoto......ho provato a ragionarci ma non riesco proprio a immaginarmi la situazione....anche perchè ho verificato che asse z e piano non sono paralleli....avevo provato ad associarlo al concetto di parabola nel piano ma essendo il piano e la retta incidenti non riesco a riportarlo...
purtroppo sono ancora qui a postare....sintomo che dopo la terza volta non riesco ancora a superare questo esame di geometria
Sto cercando di risolvere questo esercizio che era nel compito...
"Scrivere una equazione cartesiana della superficie $Q$ $sub$$E^3$ luogo dei punti equidistanti dall'asse $z$ e dal piano $x+y+z=0$
$Q$ contiene qualche retta? se sì esibirne una."
Vuoto......ho provato a ragionarci ma non riesco proprio a immaginarmi la situazione....anche perchè ho verificato che asse z e piano non sono paralleli....avevo provato ad associarlo al concetto di parabola nel piano ma essendo il piano e la retta incidenti non riesco a riportarlo...
Risposte
Dunque $Q={x\in E^3 \ |\ d_z(x)=d_p(x)}$
sicuramente ti servono le espressioni delle 2 distanze $d_z$ distanza di un punto dall'asse z e $d_p$ distanza di un punto dal piano dato.
Distanza dall'asse z: $d_z(x)=||x\wedge k||
Distanza dal piano p:
(purtroppo non mi ricordo più come scrivere i vettori in colonna e non riesco più a trovarlo, comunque spero ci capiamo)
devi prendere il vettore ortogonale al piano che in questo caso è $(1,1,1)$
(si vede facilmente perchè le equazioni di piani si scrivono come $v*x=0$, dove $x\inR^3$ e $v= (a,b,c)$)
quindi versore $v=([1]/[sqrt(3)],[1]/[sqrt(3)],[1]/[sqrt(3)])$
e $d_p(x)=||x*v||$
Essendo un pò stanco non escludo di aver detto qualche cretinata, comunque il senso credo sia questo, poi uguagli le 2 distanze e ti dovrebbero venire delle limitazioni sulle coordinate di un generico punto $x$ di $E^3$
sicuramente ti servono le espressioni delle 2 distanze $d_z$ distanza di un punto dall'asse z e $d_p$ distanza di un punto dal piano dato.
Distanza dall'asse z: $d_z(x)=||x\wedge k||
Distanza dal piano p:
(purtroppo non mi ricordo più come scrivere i vettori in colonna e non riesco più a trovarlo, comunque spero ci capiamo)
devi prendere il vettore ortogonale al piano che in questo caso è $(1,1,1)$
(si vede facilmente perchè le equazioni di piani si scrivono come $v*x=0$, dove $x\inR^3$ e $v= (a,b,c)$)
quindi versore $v=([1]/[sqrt(3)],[1]/[sqrt(3)],[1]/[sqrt(3)])$
e $d_p(x)=||x*v||$
Essendo un pò stanco non escludo di aver detto qualche cretinata, comunque il senso credo sia questo, poi uguagli le 2 distanze e ti dovrebbero venire delle limitazioni sulle coordinate di un generico punto $x$ di $E^3$
"Robbyx":
"Scrivere una equazione cartesiana della superficie $Q$ $sub$$E^3$ luogo dei punti equidistanti dall'asse $z$ e dal piano $x+y+z=0$
$Q$ contiene qualche retta? se sì esibirne una."
Inizia indicando con $(a,b,c)$ il generico punto del luogo geometrico (non conviene chiamarlo $(x,y,z)$).
La distanza dall'asse $z$ è, chiaramente, uguale a
$sqrt(a^2 + b^2)$
mentre la distanza dal piano $x + y + z = 0$ è uguale a
$sqrt(3)/3 * |a + b + c|$
A questo punto basta uguagliare ed ottieni l'equazione cartesiana della superficie:
$2 a^2 + 2 b^2 - 2 a b - 2 a c - 2 b c - c^2 = 0$ .
Ei Fox ti ringrazio per la tua disponibilità però ieri guardando non capivo benissimo, per ignoranza mia perchè cerco di ragionare con strumenti più semplici! Grazie comunque! 
Francesco ho visto ora che hai risposto e ti ringrazio! Ora sto facendo algebra lineare più tardi quando faccio geometria guardo quanto hai scritto e ti faccio sapere!
Francesco ho visto ora che hai risposto e ti ringrazio! Ora sto facendo algebra lineare più tardi quando faccio geometria guardo quanto hai scritto e ti faccio sapere!
Ok ho visto!
E' davvero semplice....mi bloccava il fatto che non sapevo calcolare ancora la distanza dal punto alla retta nello spazio.....sono andato a vederlo in un post precedente scritto da te così come anche la distanza fra 2 rette nello spazio...essì un po' di lacune ancora le ho in geometria...
p.s. con i vettori viene tutto molto più semplice...il nostro prof non li ha mai usati preferendo strade molto più contorte
E' davvero semplice....mi bloccava il fatto che non sapevo calcolare ancora la distanza dal punto alla retta nello spazio.....sono andato a vederlo in un post precedente scritto da te così come anche la distanza fra 2 rette nello spazio...essì un po' di lacune ancora le ho in geometria...
p.s. con i vettori viene tutto molto più semplice...il nostro prof non li ha mai usati preferendo strade molto più contorte
Guarda che nell'esercizio è richiesta la distanza di un punto dall'asse $z$:
si tratta di un caso molto particolare.
Il caso generale è più complesso.
si tratta di un caso molto particolare.
Il caso generale è più complesso.
Perchè scusa?
Se ho un punto e una retta dei quali conosco tutto per calcolare la distanza non posso parametrizzare la retta, poi calcolare il vettore distanza fra il punto e il punto parametrico che esprime la retta poi imporre l'ortogonalità fra il vettore e la retta col prodotto scalare e trovarmi così il parametro della retta e a questo punto il gioco è fatto perchè ottengo il punto della retta che ha la minima distanza dal punto considerato?
Se ho un punto e una retta dei quali conosco tutto per calcolare la distanza non posso parametrizzare la retta, poi calcolare il vettore distanza fra il punto e il punto parametrico che esprime la retta poi imporre l'ortogonalità fra il vettore e la retta col prodotto scalare e trovarmi così il parametro della retta e a questo punto il gioco è fatto perchè ottengo il punto della retta che ha la minima distanza dal punto considerato?
Sì, ok.
Quello che cerco di farti capire è che quando hai l'asse $z$ la distanza la calcoli semplicemente senza
ricorrere a niente di complicato.
Fai un disegno e lo vedi subito!
Quello che cerco di farti capire è che quando hai l'asse $z$ la distanza la calcoli semplicemente senza
ricorrere a niente di complicato.
Fai un disegno e lo vedi subito!
ah sisi ho capito!
Altrimenti devi fare così:
Distanza dall'asse r: $d_r(x)=||x\wedge u||
dove $u$ è il versore dell'asse r
Distanza dall'asse r: $d_r(x)=||x\wedge u||
dove $u$ è il versore dell'asse r
O.o
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