Luogo dei centri di una conica

[Amartya]

Salve a tutti,

sia dato il fascio $\varphi = x^2 + hxy +y^2 -2x -hy = 0$ di coniche. Devo trovare il luogo dei centri.

Mi viene il seguente sistema lineare ${(2x +hy = 2, hx +2y = h)$ risulta che $h = 2(1-x)/y$ e tale luogo dei punti diviene, sostituendo $x^2-y^2-2x+1 = 0$ il professore trova subito che tale equazione può essere scomposta in $(x+y-1)(x-y-1)$

Mi chiedo sta utilizzando Ruffini per la scomposizione? Sta applicando qualche proprietà sempre per la scomposizione?

Vorrei capire se quella scomposizione è banale, tramite qualche proprietà che mi sfugge o invece ha omesso i calcoli e l'ha scomposta tramite Ruffini?

Grazie in anticipo.

[Silente]

\(\displaystyle x^2−y^2−2x+1 =(x-1)^{2}-y^2 = (x-1-y)(x-1+y) \)

[Amartya]

"Ianero":\(\displaystyle x^2−y^2−2x+1 =(x-1)^{2}-y^2 = (x-1-y)(x-1+y) \)

ok grazie

a questo punto ti chiedo un ultima cosa

quel fascio di coniche si spezza in un insieme di rette distinte per $h = (+|-)2$, l'equazioni sono per $h = 2$ $(x+y)(x+y-2)$ per $h = -2$, $(x-y)(x-y-1)$

Ora mi chiedo come fa a dire che $(x+y-1)$ è il luogo dei centri simmetrici della prima conica spezzata $h =2$ e cioè $(x+y)(x+y-2)$, mentre $(x-y-1)$ è il luogo dei centri simmetrici della seconda conica spezzata, $h = -2$ e cioè $(x-y)(x-y-1)$

Non spiega il ragionamento sottostante, lo da per scontato, per me lo è un pò meno

Grazie ancora