Luogo dei centri delle coniche di un fascio
Salve a tutti.
Il mio questito è il seguente:Sia dato un fascio tangente di coniche (cioè tutte le coniche tangenti a una qualche retta in un punto A e passanti per 2 punti B e C) nel piano proiettivo con retta impropria $x_0=0$;come è fatto il luogo dei centri delle coniche (pensando il centro come polo della retta impropria)?
inoltre vorrei rispondere alla domanda anche nel caso in cui il fascio sia generale,bitangente,osculatore o iperosculatore
io sono riuscita a fare solo le seguenti considerazioni:
supponiamo che il luogo dei centri costituisca una conica non degenere; allora tale conica può essere:
1)iperbole $hArr$ ha 2 intersezioni con la retta impropria $hArr$ 2 centri delle coniche del fascio si trovano sulla retta impropria $hArr$ 2 coniche del fascio sono tangenti alla retta impropria $hArr$ 2 coniche del fascio sono parabole
analogamente
2)parabola $hArr$ una conica del fascio è parabola
3)ellissi $hArr$ nel fascio non ci sono parabole
se invece la conica costituita di centri è degenere posso dire che
1)2 rette incidenti $hArr$ 2 coniche del fascio sono parabole
2)retta $hArr$ una conica del fascio è parabola
altro non so dire..possono queste informazioni aiutarmi a svolgere l'esercizio?
Il mio questito è il seguente:Sia dato un fascio tangente di coniche (cioè tutte le coniche tangenti a una qualche retta in un punto A e passanti per 2 punti B e C) nel piano proiettivo con retta impropria $x_0=0$;come è fatto il luogo dei centri delle coniche (pensando il centro come polo della retta impropria)?
inoltre vorrei rispondere alla domanda anche nel caso in cui il fascio sia generale,bitangente,osculatore o iperosculatore
io sono riuscita a fare solo le seguenti considerazioni:
supponiamo che il luogo dei centri costituisca una conica non degenere; allora tale conica può essere:
1)iperbole $hArr$ ha 2 intersezioni con la retta impropria $hArr$ 2 centri delle coniche del fascio si trovano sulla retta impropria $hArr$ 2 coniche del fascio sono tangenti alla retta impropria $hArr$ 2 coniche del fascio sono parabole
analogamente
2)parabola $hArr$ una conica del fascio è parabola
3)ellissi $hArr$ nel fascio non ci sono parabole
se invece la conica costituita di centri è degenere posso dire che
1)2 rette incidenti $hArr$ 2 coniche del fascio sono parabole
2)retta $hArr$ una conica del fascio è parabola
altro non so dire..possono queste informazioni aiutarmi a svolgere l'esercizio?
Risposte
La soluzione richiede la conoscenza di qualche teorema di proiettiva relativo alle coniche .
Comincio col dire che il luogo richiesto è una conica che chiamo $gamma$ e questa è una cosa che lascio dimostrare a te.
Mi limito al problema del fascio di coniche tangenti in un punto dato A ad una retta assegnata t e passanti per altri due punti B e C.
Intanto, essendo i punti base del fascio dati dalla quaterna (A,A,B,C), fanno parte del fascio due coniche degeneri che simbolicamente possiamo indicare con :
1) $A A cdot BC (=t cdot BC) $
2) $AB cdot AC$
La conica relativa al punto (1) ha il centro nel punto d'intersezione E tra la retta AA= t e la retta BC. Pertanto il luogo $gamma$ è una conica passante per E.
Analogamente la conica relativa al punto (2) è una conica avente il centro nel punto 'd'intersezione A tra le rette
AB e AC e quindi A appartiene a $gamma$
Sia ora M il punto medio del lato AB del triangolo ABC, C' il simmetrico di C rispetto ad M e $sigma $ la conica del fascio passante per C': dico che il centro di $sigma $ è proprio M. Infatti, per note proprietà della corde di una conica, M appartiene al diametro coniugato alla direzione della corda CC' medesima. Detto poi $T_{oo}$ la direzione di AB, risulta che la quaterna $ABMT_{oo}$ è armonica: $(ABMT_{oo})=-1$ e quindi M appartiene al diametro coniugato alla direzione $T_{oo}$. Pertanto, essendo M l'intersezione di due diametri, esso è il centro della conica $sigma $ e come tale appartiene la luogo $gamma$ che si sta cercando. Analogamente i punti medi N e P degli altri due lati AC e BC del triangolo ABC appartengono a $gamma$. In conclusione il luogo $gamma$ richiesto è la conica passante per A , E e per i punti medi M,N,P del lati del triangolo ABC.
Comincio col dire che il luogo richiesto è una conica che chiamo $gamma$ e questa è una cosa che lascio dimostrare a te.
Mi limito al problema del fascio di coniche tangenti in un punto dato A ad una retta assegnata t e passanti per altri due punti B e C.
Intanto, essendo i punti base del fascio dati dalla quaterna (A,A,B,C), fanno parte del fascio due coniche degeneri che simbolicamente possiamo indicare con :
1) $A A cdot BC (=t cdot BC) $
2) $AB cdot AC$
La conica relativa al punto (1) ha il centro nel punto d'intersezione E tra la retta AA= t e la retta BC. Pertanto il luogo $gamma$ è una conica passante per E.
Analogamente la conica relativa al punto (2) è una conica avente il centro nel punto 'd'intersezione A tra le rette
AB e AC e quindi A appartiene a $gamma$
Sia ora M il punto medio del lato AB del triangolo ABC, C' il simmetrico di C rispetto ad M e $sigma $ la conica del fascio passante per C': dico che il centro di $sigma $ è proprio M. Infatti, per note proprietà della corde di una conica, M appartiene al diametro coniugato alla direzione della corda CC' medesima. Detto poi $T_{oo}$ la direzione di AB, risulta che la quaterna $ABMT_{oo}$ è armonica: $(ABMT_{oo})=-1$ e quindi M appartiene al diametro coniugato alla direzione $T_{oo}$. Pertanto, essendo M l'intersezione di due diametri, esso è il centro della conica $sigma $ e come tale appartiene la luogo $gamma$ che si sta cercando. Analogamente i punti medi N e P degli altri due lati AC e BC del triangolo ABC appartengono a $gamma$. In conclusione il luogo $gamma$ richiesto è la conica passante per A , E e per i punti medi M,N,P del lati del triangolo ABC.
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