Lunghezza assi di un'ellisse
Dovrei calcolare la lunghezza degli assi di un'ellisse di equazione $x^2+xy+y^2=1$. Per farlo ho omogeneizzato la sua equazione che diventa $x^2+y^2+xy=z^2$. Ho poi scritto la sua matrice associata, l'ho diagonalizzata e ho ottenuto che a meno di automorfismo l'equazione è $x^2/2+3/2*y^2=1$ e quindi che la lunghezza dei due assi è $2sqrt(2)$ e $sqrt(6)$. È corretto procedere in questo modo? E se volessi trovare gli assi (non solo la loro lunghezza) come dovrei procedere?
Risposte
Non è corretto per un motivo. Quando dici "a meno di automorfismo" non dici chi è questo automorfismo, e non possiamo sapere se è una trasformazione che preserva le distanze. Per esempio, la mappa
\[
(x, y)\mapsto \frac{1}{1000} (x, y)
\]
è un bellissimo automorfismo di \(\mathbb R^2\) MA non preserva le distanze, perché le riduce di un fattore $1000$.
Delle due, l'una:
1) o dimostri che l'automorfismo che hai trovato è ORTOGONALE, e allora il tuo svolgimento va benissimo;
2) oppure calcoli la lunghezza degli assi direttamente sull'equazione originale senza cambiare coordinate.
\[
(x, y)\mapsto \frac{1}{1000} (x, y)
\]
è un bellissimo automorfismo di \(\mathbb R^2\) MA non preserva le distanze, perché le riduce di un fattore $1000$.
Delle due, l'una:
1) o dimostri che l'automorfismo che hai trovato è ORTOGONALE, e allora il tuo svolgimento va benissimo;
2) oppure calcoli la lunghezza degli assi direttamente sull'equazione originale senza cambiare coordinate.
Grazie mille.
Visto che la matrice associata all'equazione dell'ellisse è una matrice simmetrica, e di conseguenza può venire diagonalizzata tramite matrici ortogonali, allora l'automorfismo è un realtà un'isometria. Così l'esercizio dovrebbe essere completo.
Visto che la matrice associata all'equazione dell'ellisse è una matrice simmetrica, e di conseguenza può venire diagonalizzata tramite matrici ortogonali, allora l'automorfismo è un realtà un'isometria. Così l'esercizio dovrebbe essere completo.
Certamente, ma devi fare attenzione al diagonalizzare affinché tu trovi una isometria. Il fatto che la matrice sia simmetrica ti dice che *è possibile* diagonalizzarla isometricamente, NON che tutte le matrici diagonalizzanti siano ortogonali (matrice ortogonale = cambio di variabile isometrico).
Si può anche procedere calcolando le equazioni delle rette sostegno degli assi della conica. Le intersezioni di
tali rette con la conica forniscono le coordinate dei vertici dell'ellisse e quindi le distanze tra tali vertici danno
le richieste lunghezze.
Il centro dell'ellisse è evidentemente l'origine O(0,0) delle coordinate e dunque l'equazione del generico asse
della conica è:
$mx-y=0$ dove il coefficiente angolare $m$ è da determinare. Per questo, per quello che conosco, esistono due
metodi.
Il primo si fonda sull'equazione che fornisce le direzioni angolari (l,m,0) dei due assi :
$a_{12}l^2+(a_22-a_11)lm-a_{21}m^2=0$
Nel nostro caso risulta:
$l^2-m^2=0$ da cui $l=\pm m$. Ponendo , come è lecito, $m=1$ si ha $l=\pm1$
Pertanto le equazioni degli assi sono : $y=\pm x$ ovvero le due bisettrici del piano cartesiano.
Intersecando la conica con $y=-x$ si ha $x=\pm 1$ e quindi i punti $A(1,-1),A'(-1,1)$ la cui distanza fornisce
la lunghezza di un asse: $A A' =2\sqrt2$
Intersecando con $y=x$ si ha $x=\pm\sqrt3/3$ e quindi i punti $B(-\sqrt3/3,-\sqrt3/3),B'(\sqrt3/3,\sqrt3/3)$
la cui distanza fornisce la lunghezza del secondo asse $BB'=2/3\sqrt6$
Il secondo metodo è come segue. Si considera il generico diametro della conica di equazione $y=mx$
Si calcola l'equazione del diametro ad esso coniugato ( ovvero la retta polare della direzione del primo diametro)
e poi si impone la condizione di perpendicolarità tra i diametri così trovati per calcolare i valori di m
e quindi le equazioni degli assi.
tali rette con la conica forniscono le coordinate dei vertici dell'ellisse e quindi le distanze tra tali vertici danno
le richieste lunghezze.
Il centro dell'ellisse è evidentemente l'origine O(0,0) delle coordinate e dunque l'equazione del generico asse
della conica è:
$mx-y=0$ dove il coefficiente angolare $m$ è da determinare. Per questo, per quello che conosco, esistono due
metodi.
Il primo si fonda sull'equazione che fornisce le direzioni angolari (l,m,0) dei due assi :
$a_{12}l^2+(a_22-a_11)lm-a_{21}m^2=0$
Nel nostro caso risulta:
$l^2-m^2=0$ da cui $l=\pm m$. Ponendo , come è lecito, $m=1$ si ha $l=\pm1$
Pertanto le equazioni degli assi sono : $y=\pm x$ ovvero le due bisettrici del piano cartesiano.
Intersecando la conica con $y=-x$ si ha $x=\pm 1$ e quindi i punti $A(1,-1),A'(-1,1)$ la cui distanza fornisce
la lunghezza di un asse: $A A' =2\sqrt2$
Intersecando con $y=x$ si ha $x=\pm\sqrt3/3$ e quindi i punti $B(-\sqrt3/3,-\sqrt3/3),B'(\sqrt3/3,\sqrt3/3)$
la cui distanza fornisce la lunghezza del secondo asse $BB'=2/3\sqrt6$
Il secondo metodo è come segue. Si considera il generico diametro della conica di equazione $y=mx$
Si calcola l'equazione del diametro ad esso coniugato ( ovvero la retta polare della direzione del primo diametro)
e poi si impone la condizione di perpendicolarità tra i diametri così trovati per calcolare i valori di m
e quindi le equazioni degli assi.
"massimoaa":
Il centro dell'ellisse è evidentemente l'origine O(0,0) delle coordinate e dunque l'equazione del generico asse
della conica è:
$mx-y=0$ dove il coefficiente angolare $m$ è da determinare. Per questo, per quello che conosco, esistono due
metodi.
Il primo si fonda sull'equazione che fornisce le direzioni angolari (l,m,0) dei due assi :
$a_{12}l^2+(a_22-a_11)lm-a_{21}m^2=0$
Buongiorno Massimo, due cose non mi sarebbero chiare. La prima è: se consideri \(mx-y=0\) come equazione di una retta arbitraria, perdi \(x=0\). Secondo me andrebbe verificato a mano che quest'ultima è un asse o meno.
La seconda cosa è che non capisco da dove tu tiri fuori la formula $a_{12}l^2+(a_22-a_11)lm-a_{21}m^2=0$. È una formula standard?
Effettivamente l'equazione $mx-y=0$ andrebbe scritta in maniera più generale come $ax+by=0$ { passante comunque per il centro della conica che è l'origine delle coordinate]. Ma stante la forma dell'equazione della conica data mi è sembrato un inutile appesantimento di notazione e di calcolo. Per quanto attiene l'equazione da cui si ottengono le direzioni degli assi della conica si tratta di una formula che si può trovare su qualsiasi buon testo (universitario) di Geometria .
Ma se a qualcuno interessa posso dimostrarla come segue, supponendo data l'equazione della generica conica del piano:
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
Sia $(l,m,0)$ la generica direzione (o polo, se si preferisce) del piano della conica in questione. La retta polare (che è un diametro) di tale polo, rispetto alla polarità generata nel suo piano dalla conica, ha equazione:
$(la_{11}+ma_{12})x+(la_{12}+ma_{22})y+(la_{13}+ma_{23})=0$ la cui direzione è $(la_{12}+ma_{22},-la_{11}-ma_{12},0)$
Affinche tale retta polare sia un asse, deve essere perpendicolare alla direzione coniugata e quindi deve risultare:
$l(la_{12}+ma_{22})+m(-la_{11}-ma_{12})=0$
da cui appunto :
$a_{12}l^2+(a_{22}-a_{11})lm-a_{12}m^2=0$
Ma se a qualcuno interessa posso dimostrarla come segue, supponendo data l'equazione della generica conica del piano:
$a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0$
Sia $(l,m,0)$ la generica direzione (o polo, se si preferisce) del piano della conica in questione. La retta polare (che è un diametro) di tale polo, rispetto alla polarità generata nel suo piano dalla conica, ha equazione:
$(la_{11}+ma_{12})x+(la_{12}+ma_{22})y+(la_{13}+ma_{23})=0$ la cui direzione è $(la_{12}+ma_{22},-la_{11}-ma_{12},0)$
Affinche tale retta polare sia un asse, deve essere perpendicolare alla direzione coniugata e quindi deve risultare:
$l(la_{12}+ma_{22})+m(-la_{11}-ma_{12})=0$
da cui appunto :
$a_{12}l^2+(a_{22}-a_{11})lm-a_{12}m^2=0$
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