Lunghezza arco di curva e retta tangente
Salve, avrei dei dubbi sul seguente esercizio:
Calcolare la lunghezza dell'arco di curva:
$\C : {(x = sen(t)),(y = cos(t)),(z = t):}$ con $\t in [0, 6\pi]$.
Si calcoli inoltre la retta tangente a C nel punto t=0.
Per quel che riguarda la lunghezza ho svolto l'esercizio in questo modo:
Derivata delle componenti di C: $\: {(x' = cos(t)),(y' = -sen(t)),(z' = 1):}$
Lunghezza L= $\int_{0}^{6\pi} sqrt((cos(t))^2+(-sen(t))^2+(1)^2)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(cos^2(t)+sen^2(t)+1)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(1+1)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(2)$=$\[sqrt(2)]_{0}^{6\pi}=sqrt(2) 6\pi
Per la retta tangente invece:
r:$\ {(x = x(t_0)+x'(t_0)t),(y = y(t_0)+y'(t_0)t),(z = z(t_0)+z'(t_0)t):}$ dove $\t_0 = 0$
Proseguendo ottengo
r:$\ {(x = sen(0)+cos(0)t),(y = cos(0)-sen(0)t),(z = 0+t):}$ $rArr$ $\{(x = t),(y = 1),(z = t):}$
Secondo voi i passaggi sono corretti?Voi avreste eseguito in altri modi?
Calcolare la lunghezza dell'arco di curva:
$\C : {(x = sen(t)),(y = cos(t)),(z = t):}$ con $\t in [0, 6\pi]$.
Si calcoli inoltre la retta tangente a C nel punto t=0.
Per quel che riguarda la lunghezza ho svolto l'esercizio in questo modo:
Derivata delle componenti di C: $\: {(x' = cos(t)),(y' = -sen(t)),(z' = 1):}$
Lunghezza L= $\int_{0}^{6\pi} sqrt((cos(t))^2+(-sen(t))^2+(1)^2)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(cos^2(t)+sen^2(t)+1)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(1+1)$=$\int_{0}^{6\pi} sqrt(2)$=$\[sqrt(2)]_{0}^{6\pi}=sqrt(2) 6\pi
Per la retta tangente invece:
r:$\ {(x = x(t_0)+x'(t_0)t),(y = y(t_0)+y'(t_0)t),(z = z(t_0)+z'(t_0)t):}$ dove $\t_0 = 0$
Proseguendo ottengo
r:$\ {(x = sen(0)+cos(0)t),(y = cos(0)-sen(0)t),(z = 0+t):}$ $rArr$ $\{(x = t),(y = 1),(z = t):}$
Secondo voi i passaggi sono corretti?Voi avreste eseguito in altri modi?
Risposte
Nessuno ha una vaga idea solamente per confermarmi o meno la soluzione?
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