Lolcalizzazione autovalori e cerchi di Gerschgorin
Sia $A=((4,0,2),(1,0,0),(0,1/2,0))$.
Devo dimostrare che $A$ ha 1 autovalore reale e 2 autovalori complessi.
I tre cerchi di Gerschgorin che ricavo dai coefficienti della matrice $A$ (per righe) sono:
$C_1=B(4,2]$, $C_2=B(0,1]$, $C_3=B(0,1/2]$.
Siccome $C_1nn(C_2uuC_3)=\emptyset$ c'è esattamente un autovalore che sta in $C_1$, chiamiamolo $lambda_1$.
Deve essere $lambda_1\inRR$ altrimenti si avrebbe che $lambda_1$ e $\barlambda_1$ sono autovalori distinti e stanno entrambi in $C_1$, assurdo.
Ora però non so come mostrare che gli altri due autovalori stanno in $CC"\"RR$, qualcuno ha qualche idea?
Devo dimostrare che $A$ ha 1 autovalore reale e 2 autovalori complessi.
I tre cerchi di Gerschgorin che ricavo dai coefficienti della matrice $A$ (per righe) sono:
$C_1=B(4,2]$, $C_2=B(0,1]$, $C_3=B(0,1/2]$.
Siccome $C_1nn(C_2uuC_3)=\emptyset$ c'è esattamente un autovalore che sta in $C_1$, chiamiamolo $lambda_1$.
Deve essere $lambda_1\inRR$ altrimenti si avrebbe che $lambda_1$ e $\barlambda_1$ sono autovalori distinti e stanno entrambi in $C_1$, assurdo.
Ora però non so come mostrare che gli altri due autovalori stanno in $CC"\"RR$, qualcuno ha qualche idea?
Risposte
Il polinomio caratteristico è $p(x)= x^2(4-x)+1$ (se non sbaglio)
mi sembra chiaro che se $x in (C_2 uu C_3) nn RR=[-1,1]$ si ha $p(x)>0$,
dunque non si sono altre soluzioni reali oltre a $lambda_1$
mi sembra chiaro che se $x in (C_2 uu C_3) nn RR=[-1,1]$ si ha $p(x)>0$,
dunque non si sono altre soluzioni reali oltre a $lambda_1$
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