Localizzazione autovalore 0
Sia $A$ in $M_n(C)$ una matrice a predominanza diagonale debole per righe e irriducibile.
Sia $R$ := l'unione da $i=1$ a $n$ dei cerchi $R_i$ di Gerschgorin per righe.
Dimostrare che se $0$ appartiene all' interno di $R$, allora $0$ non è autovalore di $A$.
Per definizione di predominanza diagonale debole so che $|a_(ii)|>=$ $\sum_{j=1}^n |a_(ij)|$ ed esiste un indice $k$ tale che $|a_(kk)|>$ $\sum_{j=1}^n |a_(kj)|$.
Ed inoltre essendo $A$ irriducibile, il grafo ad essa associato è fortemente connesso $G_A$.
Tuttavia non comprendo perché da tale ipotesi sia possibile escludere che $0$ sia autovalore di $A$.
Qualcuno potrebbe aiutarmi ad arrivare alla soluzione?
Grazie
Sia $R$ := l'unione da $i=1$ a $n$ dei cerchi $R_i$ di Gerschgorin per righe.
Dimostrare che se $0$ appartiene all' interno di $R$, allora $0$ non è autovalore di $A$.
Per definizione di predominanza diagonale debole so che $|a_(ii)|>=$ $\sum_{j=1}^n |a_(ij)|$ ed esiste un indice $k$ tale che $|a_(kk)|>$ $\sum_{j=1}^n |a_(kj)|$.
Ed inoltre essendo $A$ irriducibile, il grafo ad essa associato è fortemente connesso $G_A$.
Tuttavia non comprendo perché da tale ipotesi sia possibile escludere che $0$ sia autovalore di $A$.
Qualcuno potrebbe aiutarmi ad arrivare alla soluzione?
Grazie
Risposte
Nessuno sa aiutarmi?
Penso che si possa procedere così:
Supponiamo per assurdo che $0$ sia un autovalore di $A$.
Puoi mostrare che la predominanza diagonale debole implica che lo $0$ appartiene alla frontiera $\partial R$ dell'unione dei dischi di Gershgorin. Riesci a vedere il perché? Cerca di ragionare sul significato geometrico della predominanza diagonale debole in termini di dischi di Gershgorin nel piano complesso.
Poi si può dimostrare che se un autovalore $\lambda$ appartiene alla frontiera $\partial R$ dell'unione dei dischi di Gershgorin allora appartiene a tutti i dischi $R_i$ (EDIT: questo fatto è una conseguenza dell'irriducibilità della matrice). Questo porta ad una contraddizione con l'ipotesi della predominanza diagonale debole (guarda cosa succede con la disuguaglianza di indice $k$).
Spero di averti aiutato. Fammi sapere se qualcosa non ti è chiaro oppure se vuoi qualche altro indizio.
Supponiamo per assurdo che $0$ sia un autovalore di $A$.
Puoi mostrare che la predominanza diagonale debole implica che lo $0$ appartiene alla frontiera $\partial R$ dell'unione dei dischi di Gershgorin. Riesci a vedere il perché? Cerca di ragionare sul significato geometrico della predominanza diagonale debole in termini di dischi di Gershgorin nel piano complesso.
Poi si può dimostrare che se un autovalore $\lambda$ appartiene alla frontiera $\partial R$ dell'unione dei dischi di Gershgorin allora appartiene a tutti i dischi $R_i$ (EDIT: questo fatto è una conseguenza dell'irriducibilità della matrice). Questo porta ad una contraddizione con l'ipotesi della predominanza diagonale debole (guarda cosa succede con la disuguaglianza di indice $k$).
Spero di averti aiutato. Fammi sapere se qualcosa non ti è chiaro oppure se vuoi qualche altro indizio.
Dovrei aver capito, appena la riscrivo bene se ho dubbi rispondo.
Grazie
Grazie
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