Lo Spazio proiettivo è una n-varieta
Buonasera,
Non capisco la dimostrazione presente sul Kosniowski del fatto che $mathbb(RP)^n$ è una $n$-varietà topologica. Riporto questa dimostrazione:
Sia $p:S^n->mathbb(RP)^n$ la proiezione naturale; se $U_x$ è un intorno aperto di $x\inS^n$ di diametro minore di $sqrt(2)$ (perché proprio radice di due? E poi cosa si intende con precisione con "diametro") ed omeomorfo a una palla aperta in n dimensioni, ma allora $p(U_x)$ è un intorno aperto di $p(x)$ omeomorfo sempre ad una palla aperta di dimensione n: infatti $p$ è un'applicazione continua e aperta, e se $U$ è un piccolo dominio in $S^n$, $p|U:U->p(U) è un omeomorfismo.
Non so vedo tutto troppo chiacchierato... Sapreste spiegarmi meglio in modo leggermente più formale? Grazie mille
Non capisco la dimostrazione presente sul Kosniowski del fatto che $mathbb(RP)^n$ è una $n$-varietà topologica. Riporto questa dimostrazione:
Sia $p:S^n->mathbb(RP)^n$ la proiezione naturale; se $U_x$ è un intorno aperto di $x\inS^n$ di diametro minore di $sqrt(2)$ (perché proprio radice di due? E poi cosa si intende con precisione con "diametro") ed omeomorfo a una palla aperta in n dimensioni, ma allora $p(U_x)$ è un intorno aperto di $p(x)$ omeomorfo sempre ad una palla aperta di dimensione n: infatti $p$ è un'applicazione continua e aperta, e se $U$ è un piccolo dominio in $S^n$, $p|U:U->p(U) è un omeomorfismo.
Non so vedo tutto troppo chiacchierato... Sapreste spiegarmi meglio in modo leggermente più formale? Grazie mille
Risposte
"Freebulls":
Buonasera,
Non capisco la dimostrazione presente sul Kosniowski
Pessimo, pessimo, pessimo libro.
Non so vedo tutto troppo chiacchierato...
ho già detto "pessimo libro"?
Molto meglio fare così: se \(\mathbb{RP}^n\) si costruisce come \(\mathbb{R}^{n+1}\setminus 0\) modulo la relazione di proporzionalità tra vettori, è facile vedere che, scegliendo un iperpiano \(H\subseteq \mathbb{RP}^n\), il sottospazio \(U_H = \mathbb{RP}^n \setminus H\) è aperto e omeomorfo ad \(\mathbb{A}^n(\mathbb R)\) (lo spazio affine reale $n$-dimensionale). Ci sono $n$ di questi iperpiani che puoi togliere (precisamente $H_i = \{X_i = 0\}$ per $i=0,...,n$), e questi $n$ aperti formano un ricoprimento di \(\mathbb{RP}^n\) con cose che sono omeo/diffeomorfe a spazi affini; questo è il motivo per cui \(\mathbb{RP}^n\) è una varietà topologica/differenziale.
Ti consiglio, con questo disegno in testa, di fare degli esempi in dimensione bassa (per $n=1$ sai già cosa viene fuori, \(\mathbb{RP}^1\) è la circonferenza), e di scrivere esplicitamente le funzioni di transizione tra carte.
Ci sono ovviamente molti altri modi di dimostrare questo fatto: sostanzialmente, Kosniowski tenta di dirti che, quando un gruppo (in questo caso \(\mathbb Z/2\mathbb Z\)) agisce in maniera propriamente discontinua su una varietà (in questo caso $S^n$) allora il quoziente \(X/G\) è ancora una varietà: questo quoziente, nel tuo caso, è lo spazio proiettivo, perché l'azione di $G$ è fedele in \(\{\text{id}_{S^n}, -\text{id}_{S^n}\}\).
Grazie mille!
Purtroppo varietà differenziabili e diffeomorfismi vanno oltre le mie conoscenze però il prossimo semestre studierò geometria differenziale e sicuramente mi sarà tutto più chiaro
Purtroppo varietà differenziabili e diffeomorfismi vanno oltre le mie conoscenze però il prossimo semestre studierò geometria differenziale e sicuramente mi sarà tutto più chiaro
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