Linearmente indipendente

[carl.eddy]

Salve, svolgendo un esercizio sono arrivato ad un punto in cui le soluzioni differiscono da ciò che ho fatto io.
Tralasciando il resto dell'esercizio, il problema è:
dato un sottoinsieme U di R^4 generato dai vettori u1=(2,0,1,-1) u2=(1,1,2,0) u3=(4,-2,-1,-3)
io controllando se fosse linearmente indipendente sono arrivato ad avere nel sistema un parametro libero di variare, perciò secondo la regola, la dimensione del sottospazio vettoriale dovrebbe essere 1 no?
nelle soluzioni invece hanno usato il rango di matrice (io devo ancora farlo quindi non posso usarlo per ora) e dicono che la dimensione alla fine è 2.
dove sbaglio?

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[garnak.olegovitc1]

se non sai cosa è il rango suppongo non sai cosa è un sistema lineare e lo spazio delle sue soluzioni ergo, mi domando, come fai a parlare di parametro/variabile libero/a?! Dove sei arrivato con lo studio? (Di solito in molti corsi di laurea si presenta questa regoletta con la matrice per "scoprire" i vettori lin indipendenti o la dim di un sottospazio vettoriale come se fosse calata dal cielo, in realtá deriva da un sistema di equazioni lineari ed applicando rouche-capelli a questo hai la dimensione del tuo sottospazio in questione). Esistono altre vie anche se in parte ricorri sempre a sistemi lineari, tuttavia se hai l occhio veloce puoi notare subito alcuni particolari..

\(u_3 \in L((u_1,u_2))\) ovvero \(u_3=3u_1-2u_2\) con \((u_1,u_2)\) libero su \(\Bbb R\), adesso, dalla teoria sugli sottospazi vettoriali è lecito concludere, \(U=L((u_1,u_2,u_3))=L((u_1,u_2))\) e \(\dim_{\Bbb R}(U)=2\)

[carl.eddy]

"garnak.olegovitc":se non sai cosa è il rango suppongo non sai cosa è un sistema lineare e lo spazio delle sue soluzioni ergo, mi domando, come fai a parlare di parametro/variabile libero/a?! Dove sei arrivato con lo studio? (Di solito in molti corsi di laurea si presenta questa regoletta con la matrice per "scoprire" i vettori lin indipendenti come se fosse calata dal cielo, in realtá deriva da un sistema di equazioni lineari ed applicando rouche-capelli a questo hai la dimensione del tuo sottospazio in questione)

\(u_3 \in L((u_1,u_2))\) ovvero \(u_3=3u_1-2u_2\) con

Allora io ho cominciato da una settimana Algebra, detto questo le basi di certo non cominciano con le matrici, ne deriva che all'inizio ti devono dare degli strumenti più semplici per svolgere gli esercizi!
detto questo ti ringrazio per la risposta anche se non risponde alla mia domanda.

[garnak.olegovitc1]

"carl.eddy":
Allora io ho cominciato da una settimana Algebra, detto questo le basi di certo non cominciano con le matrici, ne deriva che all'inizio ti devono dare degli strumenti più semplici per svolgere gli esercizi!
detto questo ti ringrazio per la risposta anche se non risponde alla mia domanda.

ho modificato la mia risposta di prima, avevo aperto per sbaglio due schede ma alla fine ho dato invio a quella errata. La risposta è semplice se hai fatto almeno i sottospazi vettoriali generati e qualche teorema in merito oltre a quelli sulla dimensione. Come vedi non faccio uso del rango di una matrice, addirittura non faccio uso di alcuna matrice, o tu vuoi usare assolutamente la matrice dello svolgimento?

[carl.eddy]

"garnak.olegovitc":[quote="carl.eddy"]
Allora io ho cominciato da una settimana Algebra, detto questo le basi di certo non cominciano con le matrici, ne deriva che all'inizio ti devono dare degli strumenti più semplici per svolgere gli esercizi!
detto questo ti ringrazio per la risposta anche se non risponde alla mia domanda.

ho modificato la mia risposta di prima, avevo aperto per sbaglio due schede ma alla fine ho dato invio a quella errata. La risposta è semplice se hai fatto almeno i sottospazi vettoriali generati e qualche teorema in merito oltre a quelli sulla dimensione. Come vedi non faccio uso del rango di una matrice, addirittura non faccio uso di alcuna matrice, o tu vuoi usare assolutamente la matrice dello svolgimento?[/quote]

Ti ringrazio, capisco la tua risposta, ma il mio vero problema è: perché in alcuni casi in cui controllo l'indipendenza, se trovo un numero N di parametri liberi di variare allora la dimensione della base sarà N (questa è la regola che ci hanno detto), mentre in altri casi magari trovo un solo parametro che varia ma poi invece la base è formata da due vettori e non da uno? Cioè la regola vale solo in determinati casi? A noi nessuno ha spiegato quando applicarla, se potessi farlo sempre allora non avrei questo problema, ho cercato in internet ma non trovo nulla a riguardo

[garnak.olegovitc1]

"carl.eddy":
ma il mio vero problema è: perché in alcuni casi in cui controllo l'indipendenza, se trovo un numero N di parametri liberi di variare allora la dimensione della base sarà N (questa è la regola che ci hanno detto), mentre in altri casi magari trovo un solo parametro che varia ma poi invece la base è formata da due vettori e non da uno? Cioè la regola vale solo in determinati casi? A noi nessuno ha spiegato quando applicarla, se potessi farlo sempre allora non avrei questo problema, ho cercato in internet ma non trovo nulla a riguardo

metti questi alcuni casi, uno lo abbiamo giá ovvero questo che abbiamo appena trattato, piú precistamente secondo la regola deve essercene 1 quanti sono i parametri liberi e invece ne abbiamo due. Metti il caso dove la tua regola é verificata!

ps=il dubbio lo risolverai quando farai i sistemi lineari, peró cerchiamo di capirlo anche senza i sistemi lineari in modo un po naive!

[axpgn]

"carl.eddy":... perché in alcuni casi in cui controllo l'indipendenza, se trovo un numero N di parametri liberi di variare allora la dimensione della base sarà N (questa è la regola che ci hanno detto), ...

... mmmm ... non mi torna ...

Dati $n$ vettori per controllarne l'indipendenza (e trovare quelli sovrabbondanti) ti basta costruire una matrice con gli $n$ vettori come colonne e ridurla a scalini: il numero $r$ di righe NON interamente nulle è quello che cerchi ovvero il numero di vettori linearmente indipendenti (che saranno quelli identificati dalle colonne pivot)