Linearmente dipendenti e base
Ciao! Ho due esercizi che non capisco:
1) Il seguente insieme $B_1$ forma una base di $R^3$? $B_1= {1,2,1), (0,2,5), (1,-1,0), (6,0,2)}
Nella spiegazione c'è scritto che: "L'insieme $B_3$ non è una base perché contiene quattro vettori che in uno spazio di dimensione 3 sono sempre linearmente dipendenti. Come mai sono sempre linearmente dipendenti?
2) Se ho tre vettori e voglio vedere se sono linearmente dipendenti o indipendenti, calcolo il determinante della matrice e se: è uguale a zero, allora sono dipendenti,; viceversa sono indipendenti.
Se invece ho 4 vettori, come mi devo comportare?
Grazie, ciao
1) Il seguente insieme $B_1$ forma una base di $R^3$? $B_1= {1,2,1), (0,2,5), (1,-1,0), (6,0,2)}
Nella spiegazione c'è scritto che: "L'insieme $B_3$ non è una base perché contiene quattro vettori che in uno spazio di dimensione 3 sono sempre linearmente dipendenti. Come mai sono sempre linearmente dipendenti?
2) Se ho tre vettori e voglio vedere se sono linearmente dipendenti o indipendenti, calcolo il determinante della matrice e se: è uguale a zero, allora sono dipendenti,; viceversa sono indipendenti.
Se invece ho 4 vettori, come mi devo comportare?
Grazie, ciao
Risposte
come detto esiste un teorema che afferma che se hai [tex]m > n[/tex] vettori in uno spazio di dimensione [tex]n[/tex] allora tali vettori sono dipendenti.
Per capirlo devi solo capire cosa vuol dire la definizione di "base di uno spazio vettoriale".
Per capirlo devi solo capire cosa vuol dire la definizione di "base di uno spazio vettoriale".
di fatto per vedere se dei vettori sono indipendenti basterebbe vedere se sono tra loro multipli, mi spiego:
ad esempio se hai 4, $ v1, v2, v3, v4 $ vettori di $R^3$ come al tuo caso, se il tuo problema è non poter calcolare il determinante in quanto la matrice non è quadrata basta passare dalla definizione di indipendenza lineare, ovvero:
siano $v1, v2, v3, ..., vn$ ; vettori non nulli di $ R^n $ allora si dice che essi sono linearmente indipendenti se nessuno di questi può essere scritto come combinazione lineare di altri, ovvero:
$ a*v1 + a2*v2 + ... +an*vn = 0 $ ovvero : $ sum_(i = 1)^(n)ai*vi = 0 $
ti faccio un sempio, i vettori $ (1,2,3,4) (5,7,13,11) $ sono indipendenti inquanto non esiste $ a =! 0 $ la quale tu raccogli e ottieni vettori uguali.
si tratta insomma di capire se i vettori sono tra di loro multipli. Questo in casi piu' " difficili " puoi farlo risolvendo un sistema e trovando i valori di delgi $ ai $.
per quanto riguarda il punto 1 non ho ben capito il quesito...
spero di aver detto tutto correttamente
ad esempio se hai 4, $ v1, v2, v3, v4 $ vettori di $R^3$ come al tuo caso, se il tuo problema è non poter calcolare il determinante in quanto la matrice non è quadrata basta passare dalla definizione di indipendenza lineare, ovvero:
siano $v1, v2, v3, ..., vn$ ; vettori non nulli di $ R^n $ allora si dice che essi sono linearmente indipendenti se nessuno di questi può essere scritto come combinazione lineare di altri, ovvero:
$ a*v1 + a2*v2 + ... +an*vn = 0 $ ovvero : $ sum_(i = 1)^(n)ai*vi = 0 $
ti faccio un sempio, i vettori $ (1,2,3,4) (5,7,13,11) $ sono indipendenti inquanto non esiste $ a =! 0 $ la quale tu raccogli e ottieni vettori uguali.
si tratta insomma di capire se i vettori sono tra di loro multipli. Questo in casi piu' " difficili " puoi farlo risolvendo un sistema e trovando i valori di delgi $ ai $.
per quanto riguarda il punto 1 non ho ben capito il quesito...
spero di aver detto tutto correttamente
"Clod":Purtroppo non molto. Soprattutto l'uso del termine "multipli" non lo trovo molto corretto: è un termine che viene dall'algebra e che ha un significato ben preciso (un numero intero $p$ è multiplo di $q$ se esiste un numero intero $a$ tale che $aq=p$); qui siamo in un contesto di algebra lineare, c'è un lessico apposito ed è meglio usare quello.
spero di aver detto tutto correttamente
"dissonance":Purtroppo non molto. Soprattutto l'uso del termine "multipli" non lo trovo molto corretto: è un termine che viene dall'algebra e che ha un significato ben preciso (un numero intero $p$ è multiplo di $q$ se esiste un numero intero $a$ tale che $aq=p$); qui siamo in un contesto di algebra lineare, c'è un lessico apposito ed è meglio usare quello.[/quote]
[quote="Clod"]spero di aver detto tutto correttamente
ho usato il termine multipli impropriamente per dare un' idea diciamo intuitiva ( premetto che comunque non sono professore ma volevo dare il mio contributo
)
Ciao! Riporto una frase che ho trovato su un libro: "I vettori $(1,-2,1,0)$ ed $(0,0,0,1)$ sono linearmente indipendenti in quanto le loro componenti non sono in proporzione". Non l'ho capito. Vi dispiace spiegarmelo?
Grazie.
Grazie.
Faccio il caso di due vettori linearmente dipendenti con il primo vettore uguale all'esempio da te indicato : $( 1,-2,1,0 ) $ e
$ ( 5,-10,5 , 0 ) $ : quando hai due vettori per vedere se sono linearmente dipendenti o no basta verificare se le componenti dell'uno sono uguali a quelle dell'altro moltiplicate per un numero.
In caso di più vettori devi verificare se un vettore è combinazione lineare degli altri opuure no.
Se consideri lo spazio $RR^2 $ che puoi rappresentare come il piano pensa ai due vettori $(1,2) $ e $ ( 3,6 ) $ , sono linearmente dipendenti , stanno sulla stessa retta e individuano un'unica direzione nel piano.
Se invece pensi ai vettori $ ( 1,2) $ e $( 3,7 ) $ essi individuano due direzioni diverse nel piano , sono linearmenete indipendenti.
Disegnali e vedrai...
$ ( 5,-10,5 , 0 ) $ : quando hai due vettori per vedere se sono linearmente dipendenti o no basta verificare se le componenti dell'uno sono uguali a quelle dell'altro moltiplicate per un numero.
In caso di più vettori devi verificare se un vettore è combinazione lineare degli altri opuure no.
Se consideri lo spazio $RR^2 $ che puoi rappresentare come il piano pensa ai due vettori $(1,2) $ e $ ( 3,6 ) $ , sono linearmente dipendenti , stanno sulla stessa retta e individuano un'unica direzione nel piano.
Se invece pensi ai vettori $ ( 1,2) $ e $( 3,7 ) $ essi individuano due direzioni diverse nel piano , sono linearmenete indipendenti.
Disegnali e vedrai...
Grazie mille, penso di aver capito.
Se invece ho i vettori $2u-3v+5w, u-11v+7w, 5u-2v-3w$ e voglio vedere se sono o no complanari, è giusto fare questo procedimento?
Verifico se sono indipendenti o dipendenti, dopodiché posso affermare se sono o no complanari. Per fare questo, calcolo il determinante della matrice e se è: uguale a zero, allora sono dipendenti; se è diversa da zero, sono indipendenti.
$|(2,-3, 5),(1,-11, 7),(5,-2,-3)|= 245$ Sono indipendenti e quindi non complanari.
Grazie, ciao.
Se invece ho i vettori $2u-3v+5w, u-11v+7w, 5u-2v-3w$ e voglio vedere se sono o no complanari, è giusto fare questo procedimento?
Verifico se sono indipendenti o dipendenti, dopodiché posso affermare se sono o no complanari. Per fare questo, calcolo il determinante della matrice e se è: uguale a zero, allora sono dipendenti; se è diversa da zero, sono indipendenti.
$|(2,-3, 5),(1,-11, 7),(5,-2,-3)|= 245$ Sono indipendenti e quindi non complanari.
Grazie, ciao.
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