Linearità di applicazioni lineari
Salve, ho delle difficoltà nella risoluzione di questo esercizio. Mi spiego, una volta trovata $F$, sono in grado di determinare una base di $ker(f)$ e una di $Im(f)$. Il problema è che non saprei come dimostrare il primo punto dell'esercizio.
Si considerino le applicazioni $F_1, F_2, F_3 : M_2(RR) -> M_2(RR)$ tali che
$F_1(A) = A^t * A, F_2(A) = A + A^t, F_3(A) = A + I_2$
per ogni $A in M_2(RR)$.
Dimostrare che una sola di esse è lineare; detta $F$ tale applicazione, determinare
una base di $Ker(F)$ ed una base di $Im(F)$.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Si considerino le applicazioni $F_1, F_2, F_3 : M_2(RR) -> M_2(RR)$ tali che
$F_1(A) = A^t * A, F_2(A) = A + A^t, F_3(A) = A + I_2$
per ogni $A in M_2(RR)$.
Dimostrare che una sola di esse è lineare; detta $F$ tale applicazione, determinare
una base di $Ker(F)$ ed una base di $Im(F)$.
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Risposte
L'unica lineare e F2: F3 non passa nemmeno per l'origine, e F1 compare un prodotto tra matrici, e appare sospetta. Per confermare la non linearità basta esibire due controesempi che non valgono le due proprietà che già conosci, e quelli li lascio trovare a te.
Per quanto riguarda $F_2$ ed $F_3$ il discorso mi è chiaro. Non ho capito come mai $F_1$ non è lineare.
\(F_1(2A)=4F_1(A)\).
Ah, ecco. Grazie 
Pensavo di saperlo fare e invece no. A questo punto come faccio a determinare una base del $ker(f)$ e una di $Im(f)$?
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