Linearità del prodotto scalare
partendo dalla definizione a posteriori della proiezione di un vettore $v$ di $RR^2$ su una retta $r$ come
$P(v) = |v| \hat(r) cos alpha
(con $alpha$ l'opportuno angolo tra $v$ e una retta parellala a $r$, e $\hat(r)$ versore su $r$), non riesco a dimostrare che la proiezioni conserva la somma, e non ne trovo una dimostrazione in giro.
potete darmi una mano?
$P(v) = |v| \hat(r) cos alpha
(con $alpha$ l'opportuno angolo tra $v$ e una retta parellala a $r$, e $\hat(r)$ versore su $r$), non riesco a dimostrare che la proiezioni conserva la somma, e non ne trovo una dimostrazione in giro.
potete darmi una mano?
Risposte
Ad occhio e croce direi che ti serve innanzitutto avere un'espressione per l'angolo formato dalla somma di due vettori con uno dei due addendi... poi si tratta di fare due conti, probabilmente.
"Gugo82":
Ad occhio e croce direi che ti serve innanzitutto avere un'espressione per l'angolo formato dalla somma di due vettori con uno dei due addendi... poi si tratta di fare due conti, probabilmente.
beh, considero come dati i moduli $v$ e $w$ dei due vettori, e gli angoli $alpha$ e $beta$ ($alpha>beta$) compresi tra ciascun vettore ed $r$.
"Nebula":
[quote="Gugo82"]Ad occhio e croce direi che ti serve innanzitutto avere un'espressione per l'angolo formato dalla somma di due vettori con uno dei due addendi... poi si tratta di fare due conti, probabilmente.
beh, considero come dati i moduli $v$ e $w$ dei due vettori, e gli angoli $alpha$ e $beta$ ($alpha>beta$) compresi tra ciascun vettore ed $r$.[/quote]
A partire da $alpha, beta$ dovresti ricavare l'espressione per l'angolo formato da $v+w$ con $r$, ma non mi pare semplice...
Ad ogni modo, la domanda è d'obbligo: perchè stai procedendo così?
Perché ti vuoi complicare la vita con la trigonometria?
Se $r$ è il versore della retta, la proiezione del vettore $a$ sulla retta è:
$P(a)=a\cdot r$ ( $\cdot$, prodotto scalare).
Per due vettori $a$ e $b$ abbiamo:
$a \cdot r + b \cdot r = (a+b) \cdot r$, per la proprietà lineare del prodotto scalare.
Altrimenti applica il risultato della geometria elementare:
"La proiezione (ortogonale) di una spezzata su una retta orientata è uguale alla proiezione del
segmento che congiunge gli estremi".
Se $r$ è il versore della retta, la proiezione del vettore $a$ sulla retta è:
$P(a)=a\cdot r$ ( $\cdot$, prodotto scalare).
Per due vettori $a$ e $b$ abbiamo:
$a \cdot r + b \cdot r = (a+b) \cdot r$, per la proprietà lineare del prodotto scalare.
Altrimenti applica il risultato della geometria elementare:
"La proiezione (ortogonale) di una spezzata su una retta orientata è uguale alla proiezione del
segmento che congiunge gli estremi".
"Gugo82":
A partire da $alpha, beta$ dovresti ricavare l'espressione per l'angolo formato da $v+w$ con $r$, ma non mi pare semplice...
a meno di non dire una enorme cavolata... non si vede subito che è $(alpha + beta) / 2$ ?
Ad ogni modo, la domanda è d'obbligo: perchè stai procedendo così?
mmm... masochismo?
"GIBI":
Perché ti vuoi complicare la vita con la trigonometria?
Se $r$ è il versore della retta, la proiezione del vettore $a$ sulla retta è:
$P(a)=a\cdot r$ ( $\cdot$, prodotto scalare).
Per due vettori $a$ e $b$ abbiamo:
$a \cdot r + b \cdot r = (a+b) \cdot r$, per la proprietà lineare del prodotto scalare.
sì, tutta roba vera, ma volevo ricavarlo a posteriori con un po' di geometria spiccia. lo so che usando un granello di algebra lineare si risolve tutto.
Altrimenti applica il risultato della geometria elementare:
"La proiezione (ortogonale) di una spezzata su una retta orientata è uguale alla proiezione del
segmento che congiunge gli estremi".
beh... questa è la tesi da dimostrare, no?
ad ora stavo provando ad usare il teorema di carnot per avere $v+w$, ma ho il sospetto che ci siano modi più semplici ed immediati.
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