Lineare indipendenza SUI reali

[CLaudio Nine]

Ciao a tutti

Consideriamo la matrice:

$ [ ( 1 , 4 ),( 0 , -3 ) ] $

con autovalori $lambda_1=1$ e $lambda_2=-3$

e rispettivi autovettori:

$v_1 = alpha_1 ( ( 1 ),( 0 ) ) $

$v_2 = alpha_2 ( ( -1 ),( 1 ) ) $

I due vettori $v_1$ e $v_2$ sono linearmente indipendenti su $RR$. Qui arriva la mia domanda....

Sono detti linearmente indipendenti su $RR$ in quanto

$alpha_1v_1 + alpha_2v_2=0$

solo se $alpha_1=0$ e $alpha_2=0$

Quello che non capisco è la dicitura "su $RR$".

Se scrivo

$alpha_1 ( ( 1 ),( 0 ) ) + alpha_2 ( ( -1 ),( 1 ) )=0 $

non mi trovo in $RR^2$ ???

Cosa significa "su $RR$"???

[j18eos]

Provo a risponderti con un esempio: i vettori \(\displaystyle(1,\sqrt{2}),(\sqrt{2},2)\) sono linearmente dipendeti su \(\displaystyle\mathbb{R}\), ma sono linearmente indipendenti su \(\displaystyle\mathbb{Q}\). Perché?

[CLaudio Nine]

"j18eos":Provo a risponderti con un esempio: i vettori \(\displaystyle(1,\sqrt{2}),(\sqrt{2},2)\) sono linearmente dipendeti su \(\displaystyle\mathbb{R}\), ma sono linearmente indipendeti su \(\displaystyle\mathbb{Q}\). Perché?

INnanzitutto grazie per la risposta.

Quello che non capisco è la dimensione!

Nel tuo esempio avrei detto che sono linearmente dipendenti su $RR^2$, non su $RR$. Cosa c'entra $RR$?

Ad ogni modo ci penso e provo a risponderti

[gugo82]

$RR$ è il campo su cui è modellato lo spazio vettoriale $RR^2$.
Grossolanamente parlando, l'indipendenza lineare dipende dal campo dei coefficienti, più che dall'insieme in cui peschi i vettori.

[j18eos]

Esatto;

in altri termini: i vettori si dicono l.i., ma la condizione è sugli scalari.

Ti torna?

[CLaudio Nine]

Perfetto grazie!!!