Lineare indipendenza e sistemi di generatori.
ragazzi ho questa proposizione di cui la docente non ha fornito una dimostrazione :
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e siano ${v_1,..,v_n}$ un sistema di generatori di $V$.
E siano $w_1,...,w_r \in V$. Se $r>n$ allora $w_1,..,w_r$ sono linearmente dipendenti.
Ho pensato di dimostrarlo così.
L'asserto è equivalente a mostrare che se :
$w_1,...,w_r$ sono linearmente indipendenti allora $r<=n$.
A questo punto suppongo per assurdo che $w_1,...,w_r$ sono linearmente indipendenti e che $r>n$.
Poiché $V=<(v_1,v_2,..,v_n)>$
ogni $w_i$ posso esprimerlo come combinazione lineare dei $(v_i)$.
Pertanto avrei :
$w_1 = \sum_(i=0)^n (\lambda_1^i)v_i$
.
.
$w_n = \sum_(i=0)^n (\lambda_n^i)v_i$
.
$w_r= \sum_(i=0)^n (\lambda_r^i)v_i$
Considero
$w_1+....+w_n+...+w_r=\sum_(i=0)^n (\lambda_1^i)v_i+.......+\sum_(i=0)^n (\lambda_n^i)v_i+.....+\sum_(i=0)^n (\lambda_r^i)v_i$
Sfrutto le proprietà degli spazi vettoriali ed ho che
$w_1+....+w_n+...+w_r=(1)w_1+...+(1)w_n+...+(1)w_r=\sum_(i=0)^n (\lambda_1+...+\lambda_n^i+..+\lambda_r^i)v_i = $
$= (\lambda_1+...+\lambda_n^i+..+\lambda_r^i)v_1+...+(\lambda_1+...+\lambda_n^i+..+\lambda_r^i)v_n+0w_(n+1)+...+0w_(r)$
Per la lineare indipendenza di $w_1,...,w_r$ ho che
$1= \lambda_1+...+\lambda_n^i+..+\lambda_r^i$
.
.
. {al termine $n+1$-esimo)
$1=0$ da cui l'assurdo.
Pertanto deve necessariamente essere $r<=n$.
Che ne dite , può andare? grazie mille
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ e siano ${v_1,..,v_n}$ un sistema di generatori di $V$.
E siano $w_1,...,w_r \in V$. Se $r>n$ allora $w_1,..,w_r$ sono linearmente dipendenti.
Ho pensato di dimostrarlo così.
L'asserto è equivalente a mostrare che se :
$w_1,...,w_r$ sono linearmente indipendenti allora $r<=n$.
A questo punto suppongo per assurdo che $w_1,...,w_r$ sono linearmente indipendenti e che $r>n$.
Poiché $V=<(v_1,v_2,..,v_n)>$
ogni $w_i$ posso esprimerlo come combinazione lineare dei $(v_i)$.
Pertanto avrei :
$w_1 = \sum_(i=0)^n (\lambda_1^i)v_i$
.
.
$w_n = \sum_(i=0)^n (\lambda_n^i)v_i$
.
$w_r= \sum_(i=0)^n (\lambda_r^i)v_i$
Considero
$w_1+....+w_n+...+w_r=\sum_(i=0)^n (\lambda_1^i)v_i+.......+\sum_(i=0)^n (\lambda_n^i)v_i+.....+\sum_(i=0)^n (\lambda_r^i)v_i$
Sfrutto le proprietà degli spazi vettoriali ed ho che
$w_1+....+w_n+...+w_r=(1)w_1+...+(1)w_n+...+(1)w_r=\sum_(i=0)^n (\lambda_1+...+\lambda_n^i+..+\lambda_r^i)v_i = $
$= (\lambda_1+...+\lambda_n^i+..+\lambda_r^i)v_1+...+(\lambda_1+...+\lambda_n^i+..+\lambda_r^i)v_n+0w_(n+1)+...+0w_(r)$
Per la lineare indipendenza di $w_1,...,w_r$ ho che
$1= \lambda_1+...+\lambda_n^i+..+\lambda_r^i$
.
.
. {al termine $n+1$-esimo)
$1=0$ da cui l'assurdo.
Pertanto deve necessariamente essere $r<=n$.
Che ne dite , può andare? grazie mille
Risposte
A noi l'hanno fatta dimostrare partendo dal presupposto che \(\displaystyle w_1, .... w_n \) possono essere o dipendenti ( e quindi anche per \(\displaystyle w_r \) l'asserto è dimostrato oppure indipendenti e in questo caso mi basta dimostrare che generano \(\displaystyle w_n+_1, ... w_r \).
Poi operi per induzione e dimostri:
a) che \(\displaystyle w_1, v_2 ... v_n \) generano \(\displaystyle V \)
b) che se \(\displaystyle (w_1, ... w_s, v_s+_1, ...v_n) \) generano \(\displaystyle V \) allora anche \(\displaystyle (w_1, ... w_s, w_s+_1, ...v_n) \)
Da cui segue che \(\displaystyle w_m \) si può esprime come combinazione lineare di \(\displaystyle (w_1, ... w_n) \)
Poi operi per induzione e dimostri:
a) che \(\displaystyle w_1, v_2 ... v_n \) generano \(\displaystyle V \)
b) che se \(\displaystyle (w_1, ... w_s, v_s+_1, ...v_n) \) generano \(\displaystyle V \) allora anche \(\displaystyle (w_1, ... w_s, w_s+_1, ...v_n) \)
Da cui segue che \(\displaystyle w_m \) si può esprime come combinazione lineare di \(\displaystyle (w_1, ... w_n) \)
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