L'immagine attraverso T del sottospazio U

[fhabbio]

Ho provato a risolvere un quesito d'esame ma non avendo soluzioni a disposizione non so se il procedimento è corretto.

$T:$$RR^4$$\to$$RR^3$
$T(x_1, x_2, x_3, x_4)=(x_1+2x_2+4x_4,-x_1+3x_2+x_3+2x_4, 5x_2+x_3+6x_4)$

Determinare l'immagine attraverso $T$, del sottospazio $U:x_1+x_3-2x_4=0$

A questo punto a riportato in forma parametrica il sottospazio in questo modo (correggetemi se dico boiate)

$\{(x_1 = - b + 2c),(x_2 = a),(x_3 = b),(x_4 = c):}$

e la base se non sbaglio dovrebbe essere ${u_1:(0,1,0,0),u_2:(-1,0,1,0),u_3:(2,0,0,1)}$
a questo punto trovo l'immagine dei vettori $u_1, u_2, u_3$ attraverso $T$

$T(u_1)=(2,3,5)$
$T(u_2)=(-1,2,1)$
$T(u_3)=(6,0,6)$

L'esercizio dovrebbe essere finito, ora mi chiedo: devo verificare che i vettori dell'immagine sono linearmente indipendenti?
Di fatti essi non lo sono

$ ( ( 2 , -1, 6 ),(3, 2 , 0 ),(5, 1, 6) ) $ secondo i miei calcoli si riduce a $ ( ( 2 , -1, 6 ),(0, 7 , -18 ),(0, 0, 0) ) $

quindi $(6,0,6)$ è linearmente dipendente e i vettori della base dell'immagine del sottospazio sono solo 2

$(2,3,5)$
$(-1,2,1)$

[perplesso1]

devo verificare che i vettori dell'immagine sono linearmente indipendenti?

Se vuoi trovare una base di $ T(U) $ allora si lo devi fare, se invece ti accontenti di un sistema di generatori qualsiasi (anche non indipendenti) allora no, io cmq lo farei in ogni caso tanto calcolare una base non costa molta fatica.

Ti faccio vedere anche un altro metodo che potevi usare in questo caso .
Visto che sai che $ x_1=2x_4-x_3 $ calcolati $ T(2x_4-x_3,x_2,x_3,x_4)=(2x_2-x_3+6x_4,3x_2+2x_3,5x_2+x_3+6x_4) $ e da qui ti escono facilmente i tre vettori da te trovati ponendo $ x_2=1,x_3=x_4=0 $ poi $ x_3=1,x_2=x_4=0 $ e poi $ x_4=1,x_2=x_3=0 $ .

Ciao.

[fhabbio]

Grazie x il consiglio;) lo adotterò sicuramente...

Mi chiedevo poi un'altra cosa di carattere teorico.
in questo esercizio l'$Im(T)$ è di dimensione uguale a 2 e i vettori della base che ho trovato sono $(1,-1,0)$ e $(2,3,5)$
quindi dopo aver verificato che i vettori della base di $T(U)$ sono linearmente dipendenti ai vettori della base dell'$Im(T)$ si può affermare che $T(U)=Im(T)$

Perciò di due sottospazi $W$ e $V$ di dimensione uguale si può sempre affermare $W=V$?

[perplesso1]

Perciò di due sottospazi $W$ e $V$ di dimensione uguale si può sempre affermare $W=V$?

Ma anche no. Per esempio in $ R^4 $, i due sottospazi \(\displaystyle \langle (1,0,0,0), (0,1,0,0) \rangle \) e \(\displaystyle \langle (0,0,1,0), (0,0,0,1) \rangle \) sono diversi e la loro intersezione consiste del solo vettore nullo.

Altra cosa è se dici che W,V hanno la stessa dimensione e inoltre i vettori della base di W sono linearmente dipendenti dai vettori della base di V, in questo caso l'uguaglianza $ W=V $ dovrebbe sussistere (ma in reltà non ne sono neanche tanto sicuro, perchè non provi a dimostrarlo? (o a confutarlo) )

[fhabbio]

"perplesso":

Perciò di due sottospazi $W$ e $V$ di dimensione uguale si può sempre affermare $W=V$?

Ma anche no. Per esempio in $ R^4 $, i due sottospazi \(\displaystyle \langle (1,0,0,0), (0,1,0,0) \rangle \) e \(\displaystyle \langle (0,0,1,0), (0,0,0,1) \rangle \) sono diversi e la loro intersezione consiste del solo vettore nullo.

Altra cosa è se dici che W,V hanno la stessa dimensione e inoltre i vettori della base di W sono linearmente dipendenti dai vettori della base di V, in questo caso l'uguaglianza $ W=V $ dovrebbe sussistere (ma in reltà non ne sono neanche tanto sicuro, perchè non provi a dimostrarlo? (o a confutarlo) )

è veroooo!
oddio quasi mi vergogno della domanda che ho fatto!xD
Se non c'è altro da dire al riguardo, si può anche chiudere questo argomento;)

[antovm]

L'immagine attraverso T come la trovi?

[Odexios]

"perplesso":

Perciò di due sottospazi $W$ e $V$ di dimensione uguale si può sempre affermare $W=V$?

Ma anche no. Per esempio in $ R^4 $, i due sottospazi \(\displaystyle \langle (1,0,0,0), (0,1,0,0) \rangle \) e \(\displaystyle \langle (0,0,1,0), (0,0,0,1) \rangle \) sono diversi e la loro intersezione consiste del solo vettore nullo.

Altra cosa è se dici che W,V hanno la stessa dimensione e inoltre i vettori della base di W sono linearmente dipendenti dai vettori della base di V, in questo caso l'uguaglianza $ W=V $ dovrebbe sussistere (ma in reltà non ne sono neanche tanto sicuro, perchè non provi a dimostrarlo? (o a confutarlo) )

Effettivamente con l'ipotesi del secondo paragrafo la tesi è vera.

fhabbio, se ti interessa dimostrarlo autonomamente non leggere.

Se $U$, $W$ sono sottospazi di dimensione $n in \mathbb{N}$ di uno stesso spazio vettoriale $V$ su campo $K$, se $\mathcal{B} = {u_1, ..., u_n}$ e $\mathcal{B}'={w_1, ..., w_n}$ sono loro rispettive basi tali che $AA u in \mathcal{B}\ \ EE\ x_1, ..., x_n in \mathbb{K} \ \ u = x_1w_1 + ... + x_nw_n$, allora $AA u in \mathcal{B}\ u in W$, quindi $\mathcal{B} sube W$, il che implica che $U = span(\mathcal{B}) sube W$. Ma $dim(U) = dim(W)$, quind $U = W$.

Non ho idea di come funzioni la cosa per sottospazi infinitamente generati.