Limite in spazio topologico

[Ernesto011]

Salve, ho dei dubbi riguardo ad un paio di definizioni.
Citando un libro:
(Sto considerando uno spazio topologico, e quindi una successione di punti in questo spazio topologico).
Una successione ${x_n}$ si dice convergente al punto $x$ se per ogni intorno $M$ di $x$ esiste $n(M)$ tale che $x_n in M$ per ogni $n>n(M)$.
Si scriverà:
$ lim_(n -> +oo) x_n=x $

Ora il testo segue dicendo che è possibile che una successione in uno spazio topologico, a differenza del classico $R$ , può avere più di un limite.
Fin qui non ci sono problemi, ma poi dovendo far gli esercizi...

Formalmente parlando:

Se una successione ha più di un limite, posso dire che "converge" ?
Se una successione ha 2 limiti, diciamo $l_1$ e $l_2$, posso dire che $ lim_(n -> +oo) x_n=l_1 $ e $ lim_(n -> +oo) x_n=l_2 $?

[dissonance]

Si ma lascia stare, è una condizione patologica, quando parli di convergenza di solito sei su spazi di Hausdorff, su cui il limite è unico.

[garnak.olegovitc1]

"Ernesto01":Salve, ho dei dubbi riguardo ad un paio di definizioni.
Citando un libro:
(Sto considerando uno spazio topologico, e quindi una successione di punti in questo spazio topologico).
Una successione ${x_n}$ si dice convergente al punto $x$ se per ogni intorno $M$ di $x$ esiste $n(M)$ tale che $x_n in M$ per ogni $n>n(M)$.
Si scriverà:
$ lim_(n -> +oo) x_n=x $

Ora il testo segue dicendo che è possibile che una successione in uno spazio topologico, a differenza del classico $R$ , può avere più di un limite.
Fin qui non ci sono problemi, ma poi dovendo far gli esercizi...

Formalmente parlando:

Se una successione ha più di un limite, posso dire che "converge" ?
Se una successione ha 2 limiti, diciamo $l_1$ e $l_2$, posso dire che $ lim_(n -> +oo) x_n=l_1 $ e $ lim_(n -> +oo) x_n=l_2 $?

fai confusione. Topologicamente, data la definizione di punto limite per una successione si dice che questa é convergente se ammette un solo punto limite e solo in questo caso puoi usare l usuale notazione!

Che poi, se usi il tuo modo di scrivere per punti limiti \(l_1\neq l_2\) ottieni che \(l_1=l_2\) (Absurd!!!)

[j18eos]

Come ha ricordato dissonance, se hai una successione convergente in uno spazio topologico soddisfacente la proprietà di separazione di Hausdorff: il limite è unico, e non ci sono problemi.

Altrimenti, si parla di classe (del) limite della data successione!