Limite funzione vettoriale

[*brssfn76]

$lim_(x,y->0,0) (xy)/(x-y)$ dimostrare che il limite non esiste.

Dunque passando alle polari e dopo un po' di calcoli si arriva a scrivere

$lim_(rho->0) rho (cos w sin w)/(cos w - sin w)$ a questo punto studio il comportamento
del limite per w = 0 che implica limite = 0,poi per alcuni valori della w accade che
la funzione h(w) = (cos w sin w)/(cos w -sin w) va ad infinito es w=pigreco/4.

Mi chiedo a questo punto trovati alcuni valori t.c. h(w)=inf cosa devo far vedere per
dimostrare che non esiste il limite ?
Ci sono altri modi derivanti dalla teoria per far vedere che non esiste il limite oltre
a quello di trovare ovviamente 2 funzioni y(x) che abbiano 2 limiti diversi?

grazie per le delucidazioni in merito (ho un po' di dubbi su questo argomento appena studiato )

[miuemia]

farei attenzione dove consideri $w=pi /4$ poichè consideri la retta $y=x$ che è esclusa dal dominio della tua $f$...
considera la quantità $cos(w)sin(w)/(cos(w)-sin(w))$ e cerca di vedere se è limitata oppure no e trai poi le conclusioni.
sicuro che il limite non esiste??

[*brssfn76]

Per dimostrare che non esiste il limite o trovo un controesempio oppure
devo dimostrare che è impossibile maggiorare la funzione con un'altra
che tende a 0.

Dalla funzione in coordinate polari $|rho (cos w sin w)/(cos w-sin w)|$
è illimitata superiormente nel punto w=pi/4 ma giustamente in quel punto
la f non esiste...

come ne esco? ad esempio maggioro con $|2 rho (cos w sin w)/(cos w-sin w)|$ ??
e quindi dimostro che il limite esiste?

grazie per i chiarimenti