Limite di ${x_n}$ non definitivamente costante punto di accumulazione?

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Mi sembra del tutto banale, ma la quantità di cose date per scontate che trovo nel Kolmogorov-Fomin, o sorvolate quasi fossero banali, quando invece poi scopro in rete che per dimostrarle servono teoremi neanche sfiorati nel testo e per nulla banali, mi sta facendo andare letteralmente in tilt: in un qualsiasi spazio topologico se la successione non definitivamente costante \(\{x_n\}\) converge a $x$, $x$ ne è (ovviamente) un punto di accumulazione*, vero?
$\infty$ grazie a tutti!

*Nel senso che per ogni intorno $N$ di $x$ \((N\setminus\{x\})\cap\{x_n\}\ne\emptyset \).

[ciampax]

Un intorno di $x$ contiene un'infinità di valori di $x_n$.
Davide, capisco cosa vuoi dire, però renditi conto che il libro che stai seguendo è sufficientemente avanzato: non è che ogni volta che spiega qualcosa, può mettersi a richiamare risultati di Analisi 1... diventerebbe un'enciclopedia con infiniti rimandi...

[DavideGenova1]

Grazie di cuore per la risposta!

"ciampax":capisco cosa vuoi dire, però renditi conto che il libro che stai seguendo è sufficientemente avanzato: non è che ogni volta che spiega qualcosa, può mettersi a richiamare risultati di Analisi 1... diventerebbe un'enciclopedia con infiniti rimandi...

Hai ragione, ma qui non si tratta proprio di Analisi 1. Non so quanto sia avanzata la topologia da conoscere per capire queste cose, ma suppongo che chi prende in mano per la prima volta un corso introduttivo di analisi funzionale possa non aver mai incontrato prima le topologie \(\ast\)-deboli...

[ciampax]

Ma è un fatto vero in generale, anche per topologie $*$-deboli. Non ti "fissare" su cose che ti sembrano strane, quando invece sono ovvie. Del resto dimostrare l'esistenza di infiniti punti è un rigo.

[DavideGenova1]

"ciampax":Non ti "fissare" su cose che ti sembrano strane, quando invece sono ovvie. Del resto dimostrare l'esistenza di infiniti punti è un rigo.

Questa lo era davvero.

"ciampax":Ma è un fatto vero in generale, anche per topologie $*$-deboli.

Mi riferivo a questo per me indistricabile enigma. Ad una prima lettura credevo di aver capito, ma stavo ragionando con la topologia \(\ast\)-debole come avrei fatto con una metrizzabile in cui precompattezza, precompattezza numerabile e precompattezza sequenziale si equivalgono (non che il testo avesse mai dimostrato o enunciato tale equivalenza, ma mi ero accorto che la usava). Arrivato a questo teorema 6*, in cui si usa il corollario 2 del mio enigma di cui sopra, sono tornato indietro e mi sono accorto della cantonata che avevo preso: meglio comunque un enigma che una certezza sbagliata...

*che, per inciso, mi sembra pure usare nella dimostrazione limit point nel senso di limite -che nella topologia debole di uno spazio normato deve essere unico perché vige l'assioma $T_2$: non che il libro avesse mai enunciato questa proprietà di tale topologia, ma sono riuscito a trovare informazioni in rete- invece che di punto di accumulazione, come invece era stato in precedenza definito nel libro, ma questo mi sembra chiaro, anche se non mi aspetto di dover fare il filologo anche su un testo di matematica.