Lemma di Steinitz
sto cercando bene di capire la richiesta di questo teorema:
Sia V uno spazio vettoriale,$(v_1,....,v_n)$ linearmente indipendenti e $(w_1,....w_m)$ generatori di V. Allora $n<=m$
Allora dire che $(v_1,....,v_n)$ sono linaearmente dipendenti equivale a dire che esiste un n-upla ordinate di scalari non nulli tali che $\sum_{i=0}^n\(lambda)_iv_i=0$.Quindi linearmente indipendenti indipendenti equivale a dire che tutti gli scalari sono uguali a zero.
dire che $(w_1,....w_m)$ generano un sottospazio se non ho capito male equivale a dire che ogni vettore di V è combinazione lineare dell n-upla ordinata dei vettori $(w_1,....w_m)$. qua una domanda: ogni vettore di V deve essere combinazione lineare dell'n-upla o ne basta uno?
quello che non ho capito a fondo è che cosa equivale a dire $n<=m$?
Sia V uno spazio vettoriale,$(v_1,....,v_n)$ linearmente indipendenti e $(w_1,....w_m)$ generatori di V. Allora $n<=m$
Allora dire che $(v_1,....,v_n)$ sono linaearmente dipendenti equivale a dire che esiste un n-upla ordinate di scalari non nulli tali che $\sum_{i=0}^n\(lambda)_iv_i=0$.Quindi linearmente indipendenti indipendenti equivale a dire che tutti gli scalari sono uguali a zero.
dire che $(w_1,....w_m)$ generano un sottospazio se non ho capito male equivale a dire che ogni vettore di V è combinazione lineare dell n-upla ordinata dei vettori $(w_1,....w_m)$. qua una domanda: ogni vettore di V deve essere combinazione lineare dell'n-upla o ne basta uno?
quello che non ho capito a fondo è che cosa equivale a dire $n<=m$?
Risposte
ciao, purtroppo la dimostrazione non me la ricordo... a parte questo il teorema dice che il numero massimo di vettori linearmente indipendenti è uguale al numero di generatori dello spazio. Per esempio se lo spazio è $R^3$ che è generato da tre vettori indipendenti, il numero massimo di vettori (ovviamente di $R^3$) linearmente indipendenti è $3$. cioè 4 vettori di $R^3$ sono sicuramente linearmente dipendenti.
ah perfetto grazie la dimostrazione non importa mi premeva capire cosa chiedeva il teorema. quello che ho scritto sull' n-upla ordinata di vettori che genera uno spazio è giusto oppure ho scritto qualche stupidata?
Mi limito a dirti blabla che questo è il lemma di Steinitz detto anche teorema dello scambio, in quanto non ho capito bene la presunta "stupidata": potresti essere più preciso.
io ho scritto che:
dire che $(w_1,....w_m)$ generano un spazio vettoriale V equivale a dire che ogni vettore di V è combinazione lineare dell n-upla ordinata dei vettori $(w_1,....w_m)$
questa frase è corretta? soprattutto quell' ogni è giusto o basta dire che serve solo che un vettore di V sia combinazione lineare di un n-upla ordinata di vettori per dire che l' n-upla genera V?
Più chiaro?
dire che $(w_1,....w_m)$ generano un spazio vettoriale V equivale a dire che ogni vettore di V è combinazione lineare dell n-upla ordinata dei vettori $(w_1,....w_m)$
questa frase è corretta? soprattutto quell' ogni è giusto o basta dire che serve solo che un vettore di V sia combinazione lineare di un n-upla ordinata di vettori per dire che l' n-upla genera V?
Più chiaro?
Sì è più chiaro e la prima frase è corretta, la seconda è errata in quanto [tex]$\{(1;0;0);(0;1;0);(1;1;0)\}$[/tex] palesemente non è un sistema generatore di [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] poiché ad esempio: il vettore [tex]$(0;0;1)$[/tex] non è combinazione (lineare) di vettori dati a differenza di [tex]$(2;1;0)$[/tex].
ah ok grazie mille
Prego, di nulla! 
E grazie per aver notato la svista (che ho corretto).
E grazie per aver notato la svista (che ho corretto).
[mod="cirasa"]@blabla: Ti chiedo di modificare il titolo del thread, mettendone uno che ne spieghi l'argomento. Ora è troppo generico.[/mod]
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