Enunciato: Consideriamo una base \(\displaystyle \mathfrak{B} = (e_1, ..., e_n) \) di V e sia \(\displaystyle S' = (w_1, ..., w_m) \) un sistema (qualunque) di vettori. Se \(\displaystyle m>n \), il sistema S' è dipendente.
Dimostrazione: Se qualche vettore di S è nullo, allora S è dipendente. Sia invece \(\displaystyle v_j \not= 0 \) per ogni \(\displaystyle j \). Poiché \(\displaystyle \mathfrak{B} \) è un sistema di generatori, \(\displaystyle v_1 \) si può esprimere come combinazione lineare di \(\displaystyle \mathfrak{B} \); esistono cioé degli scalari \(\displaystyle \alpha_1,...,\alpha_n \) tali che
\(\displaystyle v_1 = \alpha_{1}e_1+...+\alpha_{n}e_n\)
Gli \(\displaystyle \alpha_i \) non possono essere tutti nulli (altrimenti si avrebbe \(\displaystyle v_1 = 0 \)). Sia ad esempio \(\displaystyle \alpha_1 \not= 0 \). Tale assunzione non è restrittiva, in quanto in un sistema non conta l'ordine dei vettori.
Si deduce allora che
\(\displaystyle e_1 = \alpha_1^{-1}v_1-\alpha_1^{-1}\alpha_2e_2-...-\alpha_1^{-1}\alpha_ne_n\)
Proviamo che il sistema \(\displaystyle [v_1, e_2, ..., e_n] \) genera \(\displaystyle V \). Sia \(\displaystyle v \in V \). Poiché \(\displaystyle \mathfrak{B} \) è un sistema di generatori, esistono degli scalari \(\displaystyle \beta_1, ..., \beta_n \) tali che
\(\displaystyle v = \beta_1e_1+\beta_2e_2+...+\beta_ne_n = \beta_1(\alpha_1^{-1}v_1-\alpha_1^{-1}\alpha_2e_2-...-\alpha_1^{-1}\alpha_ne_n)+\beta_2e_2 +...+\beta_ne_n \)
Pertanto ogni vettore di \(\displaystyle V \) si esprime come combinazione lineare dei vettori \(\displaystyle v_1, e_2,...,e_n \) e tali vettori generano \(\displaystyle V \). In particolare \(\displaystyle v_2 \) si potrà esprimere come combinazione lineare di tali vettori: esisteranno \(\displaystyle \gamma_1,...,\gamma_n \) tali che
\(\displaystyle v_2 = \gamma_1v_1+\gamma_2e_2+...+\gamma_ne_n \)
I \(\displaystyle \gamma_i \) non sono tutti nulli altrimenti si avrebbe \(\displaystyle v_2 = 0 \). Se accade che
\(\displaystyle \gamma_2 = ... = \gamma_n = 0 \),
si deduce che
\(\displaystyle v_2 = \gamma_1v_1 \)
e quindi il sistema S è linearmente dipendente. Supponiamo invece che qualcuno degli scalari \(\displaystyle \gamma_2,...,\gamma_n \), ad esempio, \(\displaystyle \gamma_2 \), sia diverso da 0. Avremo allora che
\(\displaystyle e_2 = -\gamma_1\gamma_2^{-1}v_1+\gamma_2^{-1}v_2-\gamma_2^{-1}\gamma_3e_3-...-\gamma_2^{-1}\gamma_ne_n\)
Come già fatto in precedenza, si prova che il sistema
\(\displaystyle [v_1, v_2, e_3,...,e_n] \)
genera \(\displaystyle V \).
Si procede in modo analogo sostituendo ai vettori \(\displaystyle e_i \) i vettori \(\displaystyle v_i \) e si trova, dopo altri n-2 passaggi, che il sistema \(\displaystyle [v_1,...,v_n] \) genera \(\displaystyle V \). In particolare \(\displaystyle v_m \) dipende da tale sistema, e quindi \(\displaystyle S \) è dipendente.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo