Lemma di Jordan

[emitrax]

$int_-oo^{+oo} (sen(x))/(x(x^2+1))dx$

Non ho proprio capito come usare il lemma di jordan. Qualcuno puo aiutarmi a capire?

Che funzione e curva dovrei introdurre per risolvere quell' integrale?

[_nicola de rosa]

"emitrax":$int_-oo^{+oo} (sen(x))/(x(x^2+1))dx$

Non ho proprio capito come usare il lemma di jordan. Qualcuno puo aiutarmi a capire?

Che funzione e curva dovrei introdurre per risolvere quell' integrale?

$sinx=Im[e^(i*x)]$ per cui considera l'integrale
$int_-oo^{+oo} (Im(e^(i*x)))/(x(x^2+1))dx=Im[int_-oo^{+oo} (e^(i*x))/(x(x^2+1))dx]$ ed i poli da considerare sono $x=0,x=i$ per cui
$int_-oo^{+oo} (sen(x))/(x(x^2+1))dx=Im[2pi*i*R+pi*i*R[0]]=pi*Im[i*(2R+R[0])]$ dove $R[]$ identifica il residuo.
Ora$R[0]=1,R=-1/(2e)$ per cui
$int_-oo^{+oo} (sen(x))/(x(x^2+1))dx=Im[2pi*i*R+pi*i*R[0]]=pi*Im[i*(2R+R[0])]=pi*Im[i(-1/e+1)]=pi*Im[i((e-1)/e)]=pi*(e-1)/e$

[emitrax]

Scusa l'ignoranza, ma che curva devo scegliere per integrare?

Grazie per la risposta.

[_nicola de rosa]

"emitrax":Scusa l'ignoranza, ma che curva devo scegliere per integrare?

Grazie per la risposta.

scusami ma è la solita integrazione attraverso i residui

[emitrax]

Ok. Ho risolto integrando su questa curva. Grazie.

[_nicola de rosa]

"emitrax":Ok. Ho risolto integrando su questa curva. Grazie.

infatti è come l'ho risolto io prendendo come poli $x=0,x=i$ che sono quelli da considerare nella classica integrazione con i residui di integrali come quello da te proposto

[emitrax]

Ti avevo chiesto che curva, perche praticamente mi ero bloccato nella risoluzione, e pensavo di aver sbagliato ad usare la curva,
invece ero solo distratto.

Grazie ancora.

[_nicola de rosa]

"emitrax":Ti avevo chiesto che curva, perche praticamente mi ero bloccato nella risoluzione, e pensavo di aver sbagliato ad usare la curva,
invece ero solo distratto.

Grazie ancora.

di nulla