Lemma di Burnside e Calcolo Combinatorio... Aiuto!!!!!

[manuxy84]

Ciao a tutti,
sono nuova del forum e ne approfitto subito per avere il vostro aiuto!
Ho qualche problema con questo esercizio di Algebra I relativo all'oggetto indicato. Posto di seguito il testo.

Determinare il numero di collane ottenute disponendo a distanza regolare su un filo 6 tra rubini e topazi nei seguenti tre casi:
1) Non ci sono limitazioni sul numero di rubini e di topazi utilizzati e due collane sono indistinguibilli se sono ottenibili una dall'altra mediante rotazioni e ribaltamenti
2) Vengono usati 3 rubini e 3 topazi e la collana è fissa nello spazio
3) Vengono usati 3 rubini e 3 topazi e due collane sono indistinguibili se ottenute una dall'altra per rotazione.

Nel caso 2 dovrebbero essere semplicemente le combinazioni di 6 su 3, ovvero 6!/3!3! = 20 corretto?
Per gli altri casi sono quasi nel buio totale...

Caso 1
Ho fatto questo ragionamento: parliamo di un esagono, quindi abbiamo

Identità --- Periodo 1 --- Elemti Fissati 2^6=64 ???

Ribaltamenti rispetto agli assi che tagliano gli angoli --- Periodo 2 --- Elementi Fissati ???

Ribaltamenti rispetto agli assi che tagliano i lati --- Periodo 2 --- Elementi Fissati ???

Rotazioni R, R5 --- Periodo 6 --- Elementi Fissati ???

Rotazioni R2, R4 --- Periodo 3 --- Elementi Fissati ???

Rotazioni R3 --- Periodo 2 --- Elementi Fissati ???


Qualcuno mi sa aiutare e darmi qualche indicazione per i casi 1 e 3?
Grazie mille

[zuccio]

nessuno sa dare una risposta? Interessa anche a me... Anche solo un accenno...

[vict85]

"manuxy84":Ciao a tutti,
sono nuova del forum e ne approfitto subito per avere il vostro aiuto!
Ho qualche problema con questo esercizio di Algebra I relativo all'oggetto indicato. Posto di seguito il testo.

Determinare il numero di collane ottenute disponendo a distanza regolare su un filo 6 tra rubini e topazi nei seguenti tre casi:
1) Non ci sono limitazioni sul numero di rubini e di topazi utilizzati e due collane sono indistinguibilli se sono ottenibili una dall'altra mediante rotazioni e ribaltamenti
2) Vengono usati 3 rubini e 3 topazi e la collana è fissa nello spazio
3) Vengono usati 3 rubini e 3 topazi e due collane sono indistinguibili se ottenute una dall'altra per rotazione.

Nel caso 2 dovrebbero essere semplicemente le combinazioni di 6 su 3, ovvero 6!/3!3! = 20 corretto?
Per gli altri casi sono quasi nel buio totale...

Caso 1
Ho fatto questo ragionamento: parliamo di un esagono, quindi abbiamo

Identità --- Periodo 1 --- Elemti Fissati 2^6=64 ???

Ribaltamenti rispetto agli assi che tagliano gli angoli --- Periodo 2 --- Elementi Fissati ???

Ribaltamenti rispetto agli assi che tagliano i lati --- Periodo 2 --- Elementi Fissati ???

Rotazioni R, R5 --- Periodo 6 --- Elementi Fissati ???

Rotazioni R2, R4 --- Periodo 3 --- Elementi Fissati ???

Rotazioni R3 --- Periodo 2 --- Elementi Fissati ???


Qualcuno mi sa aiutare e darmi qualche indicazione per i casi 1 e 3?
Grazie mille

Burnside... Io ho fatto questo compito e avrei preferito farlo meglio...
In questo avevo fatto un errore stupido (avevo incluso nel punto 3 anche i ribaltamenti).

Io nel compito mi ero messo da solo nei problemi perché ho cercato tutte le classi di coniugio di $D_3$ (che esserndo un sottogruppo di $S_3$)... non è necessario ma poi rende forse le cose più immediate. Ma va bene vedere la cosa geometricamente

CASO 2 è giusto.

CASO 3
Parti da 20

IDENTITA' - 20
R, R5 - $(1 2 3 4 5 6)$ e $(1 6 5 4 3 2)$ - 0 (non possono essere tutti dello stesso colore)
R2, R4 - avendo periodo 3 sono nella forma $(1 3 5)(2 4 6)$ e $(1 5 3)(2 6 4)$ rimangono fisse le disposizioni in cui i pari e i dispari hanno lo stesso colore- $2$
R3 - $(6 3)(1 4)(2 5)$ - 0

Applicando burnside...
$(20 + 2*2)/6 = 24/6 = 4$

CASO 1
Prima devi calcolare le possibili combinazioni... $2^6$

IDENTITA' - $2^6$
RIBALTAMENTI ANGOLO - $(2 6)(3 5),\ (1 3)(4 6),\ (1 5)(2 4)$ - $2^2*2^2$ quelle coppie devono essere dello stesso colore, mentre i restanti possono essere in qualsiasi modo
RIBALTAMENTI LATO - $(1 2)(3 6)(4 5),\ (1 4)(2 3)(5 6),\ (1 6)(2 5)(3 4)$ - $2^3$ come in R3
R, R5 - $(1 2 3 4 5 6)$ e $(1 6 5 4 3 2)$ - 2 (tutti dello stesso colore)
R2, R4 - avendo periodo 3 sono nella forma $(1 3 5)(2 4 6)$ e $(1 5 3)(2 6 4)$ rimangono fisse le disposizioni in cui i pari e i dispari hanno lo stesso colore- $2^2$
R3 - $(6 3)(1 4)(2 5)$ - Quindi sono $2^3$ perché sono i modi in cui puoi scegliere il colore di quelle 3 coppie.

Applicando burnside...
$(2^6 + 3*2^2*2^2 + 3*2^3 + 2*2 + 2*2^2 + 2^3)/(12) = (4(2^4 + 3*2^2 + 3*2 + 1 + 2 + 2))/(12) = (16 + 12 + 6 + 1 + 2 + 2)/(3) = (39)/3 = 13$

[manuxy84]

Grazie mille vict!
Non avevo capito che bisognava usare le disposizioni, io mi stavo intrippando con il calcolo combinatorio senza capire del tutto l'utilità di Burnside!
Ora sì che è tutto più semplice....!
Grazie della tua disponibilità.
Ciao