Le coordinate di un vettore sono le sue componenti?

[olanda2000]

Cioè coincidono? Chiedo perchè in alcuni problemi per sapere se un vettore appartiene ad un piano nello spazio R^3 bisogna sostituire le coordinate del vettore nell'equazione del piano e vedere se la soddisfano. Ma questo si fa anche con le coordinate di un punto per verificarne l'appartenenza al piano !
Ma allora le componenti del vettore sono le coordinate del punto situato alla sua estremità? Io sapevo che ciò è vero solo per i vettori applicati all'origine del riferimento cartesiano, ma non è vero per i vettori liberi nello spazio!

Grazie

[Vicia]

Se il vettore fa riferimento ad esempio ad una retta, lui è il vettore di giacitura della retta e da la direzione lungo la quale procede nello spazio la retta. Il vettore di giacitura lo si trova come la differenza delle componenti di 2 punti qualsiasi della retta in questione.
Può aiutarti questo?

[olanda2000]

Parli di componenti di punti anzichè di coordinate.

[edmz]

In generale, no. Sia ad esempio $u \equiv (u_1, u_2, ..., u_n) \in \mathbb{R}^n$. Le componenti del vettore sono proprio $u_1, ..., u_n$. Le sue coordinate, invece, definite dall'isomorfismo $$ C_B : \mathbb{R}^n \xrightarrow{\cong} \mathbb{R}^n $$sono $ C_b(u) $, onde $B$ è una base dello spazio vettoriale; questo perché le coordinate sono proprio la rappresentazione di un vettore rispetto ad una certa base, cioè gli scalari $\lambda_1, ..., \lambda_n \text{ t.c. } \mathbf{u} := \lambda_1\mathbf{e_1} + ... + \lambda_n\mathbf{e_n} = <\mathbf \lambda, \mathbf e>$ dove $B = \{\mathbf e_i\}$ e il prodotto scalare si intende quello canonico. Quindi per trovarle devi risolvere il sistema non-omogeneo associato. Se $B$ è la base canonica di $\mathbb{R}^n$, le coordinate sono anche le componenti.