L'antisimmetrizzatore
Salve a tutti.
Non riesco a capire come funziona l'antisimmetrizzatore definito nel seguente modo:
$A:=1/{p!} sum_{\sigma \epsilon S_p} (-1)^\sigma \sigma$
A è un operatore definito nella sottoalgebra controvariante $A:C^p(V)->C^p(V)$
Evidentemente il codominio dell'operatore è il sottospazio vettoriale $\Lambda^p(V)$ della totalità dei tensori antisimmetrici.
$\sigma$ è la permutazione ottenibile come combinazione delle trasposizioni tra 2 elementi.
Tuttavia credo di non aver capito come funziona questo antisimmetrizzatore (che è un proiettore...).
Per esempio il tensore generico $t:=((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$ scritto come $A(t)=?$ come si antisimmetrizza ?
Francamente non capisco come si possa ottenere da un generico tensore un tensore antisimmetrico svolgendo solo delle permutazioni dei numeri......
grazie
Non riesco a capire come funziona l'antisimmetrizzatore definito nel seguente modo:
$A:=1/{p!} sum_{\sigma \epsilon S_p} (-1)^\sigma \sigma$
A è un operatore definito nella sottoalgebra controvariante $A:C^p(V)->C^p(V)$
Evidentemente il codominio dell'operatore è il sottospazio vettoriale $\Lambda^p(V)$ della totalità dei tensori antisimmetrici.
$\sigma$ è la permutazione ottenibile come combinazione delle trasposizioni tra 2 elementi.
Tuttavia credo di non aver capito come funziona questo antisimmetrizzatore (che è un proiettore...).
Per esempio il tensore generico $t:=((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$ scritto come $A(t)=?$ come si antisimmetrizza ?
Francamente non capisco come si possa ottenere da un generico tensore un tensore antisimmetrico svolgendo solo delle permutazioni dei numeri......
grazie
Risposte
Dovresti spiegarti un po' meglio... provo ad interpretare. Il tuo [tex]t[/tex] dovrebbe essere un tensore di [tex]\mathbb R^3 \otimes \mathbb R^3[/tex], quindi si esprime rispetto alla base canonica come [tex]\mathbf e_1 \otimes \mathbf e_1 + 2 \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2 + 3 \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_3 + \ldots + 9 \mathbf e_3 \otimes \mathbf e_3[/tex].
In questo caso [tex]p = 2[/tex], quindi hai solo due permutazioni: [tex](1 \: 2)[/tex] e l'identità. Come vedi il tuo antisimmetrizzatore è lineare (giustamente osservi che è un proiettore), quindi possiamo spezzare in somme per studiarlo. Ad esempio, avrai: [tex]A(2 \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2 + 4 \mathbf e_2 \otimes \mathbf e_1) =[/tex][tex]\frac{1}{2} (2 \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2 - 2 \mathbf e_2 \otimes \mathbf e_1 + 4 \mathbf e_2 \otimes \mathbf e_1 - 4 \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2) = - \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2 + \mathbf e_2 \otimes \mathbf e_1[/tex].
E quindi la matrice rispetto alla base canonica diventerà:
[tex]\begin{pmatrix} * & -1 & * \\ 1 & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix}[/tex]
Nota che fintanto che hai un tensore di rango due, ossia una forma bilineare, se è rappresentato dalla matrice [tex]M[/tex], allora l'antisimmetrizzatore opera come [tex]M \mapsto \frac{1}{2}(M - M^t)[/tex], dove [tex]M^t[/tex] è la trasposta...
Per tensori di rango superiore, invece, è solo più difficile da rappresentare, ma la difficoltà concettuale è la stessa!
In questo caso [tex]p = 2[/tex], quindi hai solo due permutazioni: [tex](1 \: 2)[/tex] e l'identità. Come vedi il tuo antisimmetrizzatore è lineare (giustamente osservi che è un proiettore), quindi possiamo spezzare in somme per studiarlo. Ad esempio, avrai: [tex]A(2 \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2 + 4 \mathbf e_2 \otimes \mathbf e_1) =[/tex][tex]\frac{1}{2} (2 \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2 - 2 \mathbf e_2 \otimes \mathbf e_1 + 4 \mathbf e_2 \otimes \mathbf e_1 - 4 \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2) = - \mathbf e_1 \otimes \mathbf e_2 + \mathbf e_2 \otimes \mathbf e_1[/tex].
E quindi la matrice rispetto alla base canonica diventerà:
[tex]\begin{pmatrix} * & -1 & * \\ 1 & * & * \\ * & * & * \end{pmatrix}[/tex]
Nota che fintanto che hai un tensore di rango due, ossia una forma bilineare, se è rappresentato dalla matrice [tex]M[/tex], allora l'antisimmetrizzatore opera come [tex]M \mapsto \frac{1}{2}(M - M^t)[/tex], dove [tex]M^t[/tex] è la trasposta...
Per tensori di rango superiore, invece, è solo più difficile da rappresentare, ma la difficoltà concettuale è la stessa!
Intanto grazie per avermi chiarito le idee.
Se non ho capito male $A[((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))]=((0,-1,-2),(1,0,-1),(2,1,0))$
Se non ho capito male $A[((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))]=((0,-1,-2),(1,0,-1),(2,1,0))$
"kaimano":
Intanto grazie per avermi chiarito le idee.
Prego!
"kaimano":
Se non ho capito male [tex]A \left[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \right]=\begin{pmatrix}0 & -1 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}[/tex]
Sì è giusto. E, rispetto alla base canonica di [tex]\Lambda^2(\mathbb R^3)[/tex] il tuo tensore alternato si scriverà
[tex]A(\mathbf t) = - \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_2 - 2 \mathbf e_1 \wedge \mathbf e_3 - \mathbf e_2 \wedge \mathbf e_3[/tex]
Ancora una cosa:
sull'antisimmetrizzatore non capisco un passaggio di questa identità:
$\tau * A = 1/{p!} sum _{\sigma \in S_p} (-1)^\sigma \tau*\sigma=(-1)^\tau 1/{p!} sum_{\tau*\sigma \in S_p} (-1)^{\tau*\sigma} \tau*\sigma =(-1)^\tau A, AA \tau \in S_p$ dove Sp è il gruppo delle permutazioni di p oggetti.
Cosa significa quel doppio -1 alla....uno interno ed uno esterno alla sommatoria?
e poi perché mette all'interno della sommatoria il -1 alla prodotto delle due permutazioni?
Mi mancano i passaggi intermedi che a me non sembrano del tutto ovvi...
sull'antisimmetrizzatore non capisco un passaggio di questa identità:
$\tau * A = 1/{p!} sum _{\sigma \in S_p} (-1)^\sigma \tau*\sigma=(-1)^\tau 1/{p!} sum_{\tau*\sigma \in S_p} (-1)^{\tau*\sigma} \tau*\sigma =(-1)^\tau A, AA \tau \in S_p$ dove Sp è il gruppo delle permutazioni di p oggetti.
Cosa significa quel doppio -1 alla....uno interno ed uno esterno alla sommatoria?
e poi perché mette all'interno della sommatoria il -1 alla prodotto delle due permutazioni?
Mi mancano i passaggi intermedi che a me non sembrano del tutto ovvi...
Non che sia una scelta particolarmente intelligente. Sembra che voglia lavorare sull'anello gruppale [tex]\mathbb Z[S_p][/tex]. Cosa che potrebbe essere anche elegante, ma va spiegata, ovviamente.
Detto questo, nel primo passaggio usa chiaramente la linearità della composizione; nel secondo passaggio, moltiplica semplicemente per [tex]1 = (-1)^{\tau \cdot \tau}[/tex]. E poi usa il fatto che la moltiplicazione a sinistra su un gruppo è un isomorfismo...
Detto questo, nel primo passaggio usa chiaramente la linearità della composizione; nel secondo passaggio, moltiplica semplicemente per [tex]1 = (-1)^{\tau \cdot \tau}[/tex]. E poi usa il fatto che la moltiplicazione a sinistra su un gruppo è un isomorfismo...
"maurer":
nel secondo passaggio, moltiplica semplicemente per [tex]1 = (-1)^{\tau \cdot \tau}[/tex]. E poi usa il fatto che la moltiplicazione a sinistra su un gruppo è un isomorfismo...
Cerco di interpretare:
In sostanza l'applicazione $\tau$ "conserva" l'operazione che $\sigma$ esegue come applicazione sul tensore?
pertanto $(-1)^{\tau*\sigma}\tau*\sigma = (-1)^\sigma sigma$?
pero....
Scusami per il ritardo. Ho avuto due giornate intense.
Allora, no, non hai capito. Ma temo che il problema sia infatti notazionale.
Provo a dare una dimostrazione che per un debuttante dovrebbe essere più facilmente afferrabile.
Tu vuoi dimostrare che per ogni [tex]\tau \in \mathcal S_p[/tex] si ha [tex]\tau \cdot A = (-1)^\tau A[/tex].
Prima di iniziare, però, dimmi una cosa: che cosa vuol dire [tex](-1)^\tau[/tex]? (E' una domanda retorica, se non si fosse capito; io lo so benissimo, voglio accertarmi che le tue idee siano belle pulite ed ordinate in merito a questa faccenda)
Allora, no, non hai capito. Ma temo che il problema sia infatti notazionale.
Provo a dare una dimostrazione che per un debuttante dovrebbe essere più facilmente afferrabile.
Tu vuoi dimostrare che per ogni [tex]\tau \in \mathcal S_p[/tex] si ha [tex]\tau \cdot A = (-1)^\tau A[/tex].
Prima di iniziare, però, dimmi una cosa: che cosa vuol dire [tex](-1)^\tau[/tex]? (E' una domanda retorica, se non si fosse capito; io lo so benissimo, voglio accertarmi che le tue idee siano belle pulite ed ordinate in merito a questa faccenda)
Figurati....
Nel frattempo ero andato avanti piantandomi su un 2 esercizi
comunque tornando all'antisimmetrizzatore:
$\tau$ se non ho capito male dovrebbe essere la classe di permutazione ossia il numero di inversioni presenti nell'immagine della sequenza finale ${\tau(1),.......\tau(p)}$ dell'insieme iniziale ${1,....,p}$ dei primi p numeri.
Da ciò si evince che se il numero di inversioni è pari allora $(-1)^{\tau} =1$ se è dispari esce -1. Spero che questo sia giusto
Nel frattempo ero andato avanti piantandomi su un 2 esercizi
comunque tornando all'antisimmetrizzatore:$\tau$ se non ho capito male dovrebbe essere la classe di permutazione ossia il numero di inversioni presenti nell'immagine della sequenza finale ${\tau(1),.......\tau(p)}$ dell'insieme iniziale ${1,....,p}$ dei primi p numeri.
Da ciò si evince che se il numero di inversioni è pari allora $(-1)^{\tau} =1$ se è dispari esce -1. Spero che questo sia giusto
Sì è corretto, ma si potrebbe dire molto molto meglio. Per esempio, sei convinto che [tex](-1)^{\sigma \circ \tau} = (-1)^{\sigma} \cdot (-1)^\tau[/tex]??
Significa che il segno finale è dato dal numero di inversioni che attiva $\tau$ e dal numero di inversioni che quindi continua a fare $\sigma$. In sostanza la classe finale dipende dal prodotto delle singole classi che assieme fanno la composta $\sigma o \tau$ = ${\sigma(\tau(1)),.......\sigma(\tau(p))}$
Se ad esempio $\tau$ esegue 5 inversioni e $\sigma$ 3 la classe finale è pari ossia -1*-1=1
Se ad esempio $\tau$ esegue 5 inversioni e $\sigma$ 2 la classe finale è dispari ossia -1*1=-1
spero che il mio ragionamento sia corretto
Se ad esempio $\tau$ esegue 5 inversioni e $\sigma$ 3 la classe finale è pari ossia -1*-1=1
Se ad esempio $\tau$ esegue 5 inversioni e $\sigma$ 2 la classe finale è dispari ossia -1*1=-1
spero che il mio ragionamento sia corretto
Sì, guarda, più che altro serve a te. Io personalmente definisco tutte queste cose in una maniera un po' più facile da trattare (ma bisogna studiare un po' di più per comprenderla bene: servono diversi teoremi). Al massimo ci torniamo dopo, se vuoi. Ad esempio, se tu studi matematica, allora ti consiglio veramente di studiare un po' di "teoria" sulle permutazioni perché sicuramente ti tornerà utile in altre situazioni.
Allora, tu vuoi controllare [tex]\tau \cdot A = (-1)^{\tau}[/tex] per ogni [tex]\tau \in \mathcal S_p[/tex]. Queste due sono funzioni, quindi sono uguali se e solo se per ogni [tex]\mathbf t \in C^p(V)[/tex] si ha [tex](\tau \cdot A)(\mathbf t) = (-1)^{\tau} A(\mathbf t)[/tex]. Tuttavia, entrambi i membri sono lineari, quindi per controllare che questo sia vero, ti basta controllare che è vero sugli elementi della forma [tex]\mathbf v_1 \otimes \mathbf v_2 \otimes \ldots \otimes \mathbf v_p[/tex]. Adesso
[tex](\tau \cdot A)(\mathbf v_1 \otimes \ldots \otimes \mathbf v_p) = \tau \cdot \left( \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^\sigma \sigma \cdot (\mathbf v_1 \otimes \ldots \otimes \mathbf v_p) \right) = \tau \cdot \left( \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^{\sigma} \mathbf v_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\sigma(p)} \right)[/tex]
[tex]= \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^\sigma \tau \cdot (\mathbf v_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\sigma(p)} ) = \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^\sigma \mathbf v_{\tau(\sigma(1))} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\tau(\sigma(p))}[/tex]
Fin qui ti quadra?
Allora, tu vuoi controllare [tex]\tau \cdot A = (-1)^{\tau}[/tex] per ogni [tex]\tau \in \mathcal S_p[/tex]. Queste due sono funzioni, quindi sono uguali se e solo se per ogni [tex]\mathbf t \in C^p(V)[/tex] si ha [tex](\tau \cdot A)(\mathbf t) = (-1)^{\tau} A(\mathbf t)[/tex]. Tuttavia, entrambi i membri sono lineari, quindi per controllare che questo sia vero, ti basta controllare che è vero sugli elementi della forma [tex]\mathbf v_1 \otimes \mathbf v_2 \otimes \ldots \otimes \mathbf v_p[/tex]. Adesso
[tex](\tau \cdot A)(\mathbf v_1 \otimes \ldots \otimes \mathbf v_p) = \tau \cdot \left( \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^\sigma \sigma \cdot (\mathbf v_1 \otimes \ldots \otimes \mathbf v_p) \right) = \tau \cdot \left( \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^{\sigma} \mathbf v_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\sigma(p)} \right)[/tex]
[tex]= \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^\sigma \tau \cdot (\mathbf v_{\sigma(1)} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\sigma(p)} ) = \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^\sigma \mathbf v_{\tau(\sigma(1))} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\tau(\sigma(p))}[/tex]
Fin qui ti quadra?
Si questo è il primo passaggio dell'identità che avevo scritto
Ok, adesso moltiplichi per [tex]1 = (-1)^\tau \cdot (-1)^\tau = (-1)^{\tau \circ \tau}[/tex] e ottieni che tutta quella pappardella è uguale a
[tex]= (-1)^\tau \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^{\tau} (-1)^{\sigma} \mathbf v_{\tau(\sigma(1))} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\tau(\sigma(p))} = (-1)^\tau \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^{\tau \circ \sigma} \mathbf v_{\tau(\sigma(1))} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\tau(\sigma(p))}[/tex]
Adesso, sei convinto del fatto che la mappa [tex]\mathcal S_p \to \mathcal S_p[/tex] definita da [tex]\sigma \mapsto \tau \circ \sigma[/tex] sia un isomorfismo di gruppi?
[tex]= (-1)^\tau \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^{\tau} (-1)^{\sigma} \mathbf v_{\tau(\sigma(1))} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\tau(\sigma(p))} = (-1)^\tau \sum_{\sigma \in \mathcal S_p} (-1)^{\tau \circ \sigma} \mathbf v_{\tau(\sigma(1))} \otimes \ldots \otimes \mathbf v_{\tau(\sigma(p))}[/tex]
Adesso, sei convinto del fatto che la mappa [tex]\mathcal S_p \to \mathcal S_p[/tex] definita da [tex]\sigma \mapsto \tau \circ \sigma[/tex] sia un isomorfismo di gruppi?
Si probabilmente con la forma $v_{\tau(\sigma(1))} \otimes........\otimes v_{\tau(\sigma(p))}$ vedo meglio la biunivocità;
ti ringrazio per avermi "schiarito le idee";
ti ringrazio per avermi "schiarito le idee";
No, guarda, questo è invece grave. Devi vedere che per ogni gruppo [tex]G[/tex] ed ogni [tex]g \in G[/tex] la mappa [tex]\varphi_g \colon G \to G[/tex] definita da
[tex]\varphi_g(h) = gh[/tex] è una biezione!
Ma non hai mai seguito un corso di teoria dei gruppi? Che ne so, Algebra 1, Algebra 2...
[tex]\varphi_g(h) = gh[/tex] è una biezione!
Ma non hai mai seguito un corso di teoria dei gruppi? Che ne so, Algebra 1, Algebra 2...
eh no! infatti la dispensa è un estratto di algebra multilineare....il corso di teoria dei gruppi lo devo ancora affrontare.
e francamente non saprei come dimostrarlo.....
Tutta la parte che ho studiato l'ho fatta senza seguire quei corsi....
e francamente non saprei come dimostrarlo.....
Tutta la parte che ho studiato l'ho fatta senza seguire quei corsi....
Beh, conosci gli assiomi di gruppo?
- 1) per ogni [tex]g,h,k \in G[/tex], [tex](gh)k = g(hk)[/tex];
2) esiste [tex]e \in G[/tex] tale che [tex]ge = eg = g[/tex] per ogni [tex]g \in G[/tex];
3) per ogni [tex]g \in G[/tex] esiste [tex]h \in G[/tex] tale che [tex]gh = hg = e[/tex].
[/list:u:1dhkd0cn]
A questo punto, dimostriamo che [tex]\varphi_g[/tex] è una biezione. Allora, è iniettiva: assumi [tex]g h = g k[/tex]; per l'assioma 3) esisterà [tex]g^{-1}[/tex] tale che [tex]g^{-1} g = e[/tex], quindi [tex]g^{-1} g h = e h = h = g^{-1} g k = e k = k[/tex]. E' suriettiva: fissa [tex]h \in G[/tex]; allora [tex]g (g^{-1} h) = (g g^{-1}) h = eh = h[/tex], quindi è suriettiva.
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