\( \langle A , B \rangle \equiv A^\tau M B \) e' non degenere
Devo mostrare che
\[ \langle A , B \rangle \equiv A^\tau M B \qquad A, B \in \mathbb{R}^m, M^\tau = M \in \mathscr{M}_{m \times m} \]
e' un prodotto scalare non degenere. Che valgano le proprieta di linearita' rispetto al secondo termine e di simmetria e' piuttosto evidente; il fatto che non sia degenere non riesco a mostrarlo con decisione.
Dire che \( \langle \; , \rangle \) e' non degenere equivale a dire che
\[ \langle A , \mathbf{x} \rangle , \; \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m \Rightarrow A = \mathbf{0} \]
Supponiamo per assurdo che sia \( A \neq \mathbf{0} \); allora per ipotesi si ha
\[ \langle A , \mathbf{x} \rangle \equiv A^\tau M B = \Big( \; A^\tau \; \Big) \cdot \Big( \; M \mathbf{x} \; \Big) = 0 \qquad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m \]
ma per la non degerazione del prodotto scalare standard questo implicherebbe
\[ A \equiv \mathbf{0} \]
...ma la cosa non mi convince manco un po'.
\[ \langle A , B \rangle \equiv A^\tau M B \qquad A, B \in \mathbb{R}^m, M^\tau = M \in \mathscr{M}_{m \times m} \]
e' un prodotto scalare non degenere. Che valgano le proprieta di linearita' rispetto al secondo termine e di simmetria e' piuttosto evidente; il fatto che non sia degenere non riesco a mostrarlo con decisione.
Dire che \( \langle \; , \rangle \) e' non degenere equivale a dire che
\[ \langle A , \mathbf{x} \rangle , \; \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m \Rightarrow A = \mathbf{0} \]
Supponiamo per assurdo che sia \( A \neq \mathbf{0} \); allora per ipotesi si ha
\[ \langle A , \mathbf{x} \rangle \equiv A^\tau M B = \Big( \; A^\tau \; \Big) \cdot \Big( \; M \mathbf{x} \; \Big) = 0 \qquad \forall \mathbf{x} \in \mathbb{R}^m \]
ma per la non degerazione del prodotto scalare standard questo implicherebbe
\[ A \equiv \mathbf{0} \]
...ma la cosa non mi convince manco un po'.
Risposte
Giuseppe, scusami ma non ho capito: se con \(\mathscr M_{n\times n} \) indichi l'insieme di tutte le matrici quadrate allora quello che vuoi provare è falso.
Hai preso $M$ simmetrica, d'accordo ma questo non basta affinché quello sia un prodotto scalare (la locuzione prodotto scalare contiene in sé il fatto che la forma è non degenere, almeno nelle mie definizioni).
Perché quella roba sia un prodotto scalare, in primis deve essere una forma bilineare simmetrica, ergo la matrice $M$ deve essere simmetrica e fin qui ok; in secondo luogo, deve essere non degenere e ciò ammonta a dire che la matrice $M$ è non singolare, i.e. ha determinante non nullo, i.e. ha rango massimo, i.e. non ha l'autovalore zero, i.e. ha nucleo banale (sono tutte condizioni equivalenti).
Hai preso $M$ simmetrica, d'accordo ma questo non basta affinché quello sia un prodotto scalare (la locuzione prodotto scalare contiene in sé il fatto che la forma è non degenere, almeno nelle mie definizioni).
Perché quella roba sia un prodotto scalare, in primis deve essere una forma bilineare simmetrica, ergo la matrice $M$ deve essere simmetrica e fin qui ok; in secondo luogo, deve essere non degenere e ciò ammonta a dire che la matrice $M$ è non singolare, i.e. ha determinante non nullo, i.e. ha rango massimo, i.e. non ha l'autovalore zero, i.e. ha nucleo banale (sono tutte condizioni equivalenti).
[ot]Capisco... ma mi sono rimesso a riguardare il Lang (Linear Algebra) da principio e al punto in cui sono non si parla ancora di forme bilineari: mi piacerebbe quindi concludere l'esercizio in maniera diversa.[/ot]
Ok, allora probabilmente ho inteso male il testo di questo esercizio, che ora riporto:
In base a quanto mi dici, dunque, mi si chiederebbe semplicemente di verificare che \( \langle \; , \rangle \) sia lineare rispetto al secondo termine e simmetrica --non avendo ipotesi su \( M \)-- ?
"Paolo90":
... se con \(\mathscr M_{n\times n} \) indichi l'insieme di tutte le matrici quadrate allora quello che vuoi provare è falso.
Hai preso $M$ simmetrica, d'accordo ma questo non basta affinché quello sia un prodotto scalare (la locuzione prodotto scalare contiene in sé il fatto che la forma è non degenere, almeno nelle mie definizioni).
Ok, allora probabilmente ho inteso male il testo di questo esercizio, che ora riporto:
"Lang (EX. 10, Cap.3)":
Sia \( M \in \mathscr{M}_{n \times n} \) tale che \( M^\tau = M \). Presi due vettori colonna di \( \mathbb{R}^m \) definiamo \( \langle \; , \rangle \) come il prodotto \( A^\tau M B \). Dimostrare che le proprieta' del prodotto scalare sono valide, con la possibile eccezione della proprieta' di positivita'.
In base a quanto mi dici, dunque, mi si chiederebbe semplicemente di verificare che \( \langle \; , \rangle \) sia lineare rispetto al secondo termine e simmetrica --non avendo ipotesi su \( M \)-- ?
Sì, penso di sì. Per avere la conferma definitiva, è sufficiente sapere qual è la definizione di prodotto scalare per Lang (non ho il suo testo a portata di mano in questo momento).
"Paolo90":
Per avere la conferma definitiva, è sufficiente sapere qual è la definizione di prodotto scalare per Lang
Che fesso che sono ...al momento e' stata fatta solamente una rudimentale trattazione dei prodotti scalari tuttavia vengono enunciate le seguenti: simmetria, linearita' rispetto al secondo argomento, e per ultima
PS 4. Se \( x = 0 \), allora \( \langle x , x \rangle = 0 \), e se \( x \neq 0 \) allora \( \langle x , x \rangle > 0 \).
la cui prima parte e' chiaramente soddisfatta da
\[ \langle A , B \rangle \equiv A^\tau M B \]
mentre all'accento su
"Lang":
...con la possibile eccezione della proprieta' di positivita'
si puo' rispondere scegliendo come tripletta \( A, A, -I_n \); infatti
\[ A^\tau (-I_n) A \equiv - A^\tau A = - \| A \|^2 \le 0 \]
Dovrebbe andare meglio adesso, no?
Sì, direi che va bene. Tieni conto, comunque, che possono capitare anche cose più "brutte": nel tuo esempio (i.e. prendendo come $M=-I_n$) trovi vettori la cui "norma" è negativa: nota infatti che la quantità $A^t M A$ è sempre strettamente negativa (a meno che $A$ sia il vettore nullo).
Tuttavia, esistono anche matrici simmetriche $M$ tali che esiste un vettore $A$ non nullo per cui si abbia $A^t M A = 0$: e ciò è in qualche senso patologico, perché significa che c'è un vettore non nullo la cui "norma" è nulla. Se sei curioso e interessato, ti invito a fare questo piccolo esercizietto che ti propongo. Tieni conto, comunque, che vedrai sicuramente queste cose durante un corso di Algebra lineare, quindi magari non ci sei ancora arrivato e tutto ti apparirà chiaro tra qualche pagina... Buono studio
Tuttavia, esistono anche matrici simmetriche $M$ tali che esiste un vettore $A$ non nullo per cui si abbia $A^t M A = 0$: e ciò è in qualche senso patologico, perché significa che c'è un vettore non nullo la cui "norma" è nulla. Se sei curioso e interessato, ti invito a fare questo piccolo esercizietto che ti propongo. Tieni conto, comunque, che vedrai sicuramente queste cose durante un corso di Algebra lineare, quindi magari non ci sei ancora arrivato e tutto ti apparirà chiaro tra qualche pagina... Buono studio
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