$\lambda^k$ autovalore di $A^k$

[DavideGenova1]

Il capitolo dello Strang che sto studiando è molto ricco di spunti interessanti, ma povero di dimostrazioni... Quindi mi ritrovo di nuovo qui...
Osservo che, se $\lambda$ è un autovalore di $A$ tale che $A\mathbf x=\lambda\mathbf x$, allora $\forall k\in\mathbb N\ A^k\mathbf x=\lambda^k\mathbf x$, ma mi chiedo se la molteplicità algebrica di ogni $\lambda_i$ come radice di \(p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)\) sia identica alla molteplicità di $\lambda_i^k$ come radice di \(\det(A^k-\lambda I)\)...
Per $k=2$ direi proprio che la molteplicità sia la stessa, infatti direi che, fattorizzato il polinomio caratteristico come \(\det(A-\lambda I)=(\lambda_1-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)\), alla luce del fatto che \((A+\lambda I)(A-\lambda I)=A^2-\lambda^2 I\), si abbia che
\(\det(A^2-\lambda^2 I)=\det(A+\lambda I)\det(A-\lambda I)=(\lambda_1-\lambda)...(\lambda_n-\lambda)(\lambda_1+\lambda)...(\lambda_n+\lambda)\)
\(=(\lambda_1^2-\lambda^2)...(\lambda_n^2-\lambda^2)\) e quindi ogni $\lambda_i$ radice di $p_A(\lambda)$ è tale che il suo quadrato è radice di \(p_{A^2} (\mu)=\det(A^2-\mu I)\).
"Intuitivamente" mi viene da pensare che la stessa cosa si applichi per qualunque $A^k$... Qualcuno sa se è così e come si potrebbe dimostrare? Ho cercato molto su Internet, ma non trovo nulla... magari qualcuno ha qualche link da suggerire o qualche idea da scrivere qua...
Grazie di cuore a tutti!!!

[Riccardo Desimini]

Prova per induzione su $ k $.

[DavideGenova1]

Grazie, Riccardo!!! Eh, sì, ho immaginato che fosse quella la strada da percorrere, ma non arrivo a nulla... Ho notato per esempio che \((A^k-\lambda^k I)(A+\lambda I)=A^{k+1}-\lambda^{k}A+\lambda A^k-\lambda^{k+1}I\) e che, supponendo per ipotesi induttiva che \(\det(A^k-\lambda^k I)=\prod_{i=1}^{n}(\lambda_i^k-\lambda^k)\), si avrebbe che \[\det(A^k-\lambda^k I)\det(A+\lambda I)=\prod_{i=1}^{n}(\lambda_i^k-\lambda^k)(\lambda_i+\lambda)=\prod_{i=1}^{n}(\lambda_i^{k+1}-\lambda^{k+1}+\lambda_i\lambda(\lambda_i^{k-1}-\lambda^{k-1}))\]
ma non mi sembra granché utile...
$+oo$ grazie ancora a te e a chi voglia contribuire!!!

EDIT: Correzione di errore notato grazie a ciampax.

[ciampax]

"DavideGenova":Ho notato per esempio che \(A^k-\lambda^k I=A^{k+1}-\lambda^{k+1}-\lambda^k(A+\lambda I)\)

Scusa, ma a questa come ci arrivi? Forse mi sono perso qualcosa.

[DavideGenova1]

Ehm, ho fatto un pasticcio: l'intenzione era qualcosa come \((A^k-\lambda^k I)(A+\lambda I)=A^{k+1}-\lambda^{k+1}I+\lambda A(A^{k-1}-\lambda^{k-1}I)\)... Grazie per averlo notato!