L'aggiunta di una matrice di ordine 2
Come faccio a calcolare la matrice aggiunta di una matrice quadrata di ordine 2?
Non è che per caso l'aggiunta resta la matrice stessa?
Non è che per caso l'aggiunta resta la matrice stessa?
Risposte
"gentah":
Come faccio a calcolare la matrice aggiunta di una matrice quadrata di ordine 2?
Non è che per caso l'aggiunta resta la matrice stessa?
Basta sapere la definizione!
La definizione la conosco, il problema è che applicata a matrici di ordine mai inferiore a 3...ora mi è capitato, invece, un esercizio in cui si chiede di determinare l'aggiunta di una di ordine 2...e mi è venuto il dubbio!
che cosa intendi per aggiunta?
la matrice aggiunta è la matrice trasposta e coniugata.
sia $A=((a+ib,c+id),(e+if,g+ih))$ con $a,b,c,d,e,f,g,h in RR$
calcoliamo l'aggiunta quindi $(A^T)^**$
$(((a+ib,c+id),(e+if,g+ih))^T)^** = ((a+ib,e+if),(c+id,g+ih))^**=((a-ib,e-if),(c-id,g-ih))$
il puntino sarebbe un asterisco all'esponente, ma quasi non si vede..
la matrice aggiunta è uguale alla matrice di partenza se è una matrice reale e se è simmetrica ($A^T=A$), in questo modo
$(A^T)^**=A^**=A$
sia $A=((a+ib,c+id),(e+if,g+ih))$ con $a,b,c,d,e,f,g,h in RR$
calcoliamo l'aggiunta quindi $(A^T)^**$
$(((a+ib,c+id),(e+if,g+ih))^T)^** = ((a+ib,e+if),(c+id,g+ih))^**=((a-ib,e-if),(c-id,g-ih))$
il puntino sarebbe un asterisco all'esponente, ma quasi non si vede..
la matrice aggiunta è uguale alla matrice di partenza se è una matrice reale e se è simmetrica ($A^T=A$), in questo modo
$(A^T)^**=A^**=A$
"Jordano":
il puntino sarebbe un asterisco all'esponente, ma quasi non si vede..
prova con \$**\$
ottieni $**$
oppure con \$\bar{((a,b),(c,d))}\$
ottieni $bar{((a,b),(c,d))}$
"dissonance":
[quote="Jordano"]
il puntino sarebbe un asterisco all'esponente, ma quasi non si vede..
prova con \$**\$
ottieni $**$
oppure con \$\bar{((a,b),(c,d))}\$
ottieni $bar{((a,b),(c,d))}$[/quote]
grazie mille
dopo innumerevoli edit ora assume una forma comprensibile
Grazie mille per l'aiuto!!
Attenzione! L'aggiunta di una matrice può essere interpretata non solo come la trasposta coniugata, ma anche come la matrice dei complementi algebrici oppure come la trasposta della matrice dei complementi algebrici.
Mi spiego meglio. Sia $A \in M_n(\mathbbK)$, una matrice quadrata n x n a coefficienti in $\mathbbK$.
$\forall i,j \in {1,...,n}$ definisco $A_i^j \in M_{n-1}(\mathbbK)$ come la matrice ottenuta da $A$ cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima.
Allora si dice matrice dei complementi algebrici la matrice $C \in M_n(\mathbbK)$ così definita:
$\forall i,j \in {1,...,n}\qquad c_{ij}:=(-1)^{i+j}det(A_i^j)$.
Quindi a volte la matrice aggiunta è proprio $C$ o la sua trasposta, $^tC$.
Se $A$ è una matrice invertibile vale: $A^{-1}=1/(detA) * ^tC$.
Quindi nel caso di una matrice 2 x 2, vale:
$A=((a b),(c d)) C=((d -c),(-b a)) \qquad ^tC=((d -b),(-c a))$
Mi spiego meglio. Sia $A \in M_n(\mathbbK)$, una matrice quadrata n x n a coefficienti in $\mathbbK$.
$\forall i,j \in {1,...,n}$ definisco $A_i^j \in M_{n-1}(\mathbbK)$ come la matrice ottenuta da $A$ cancellando la riga i-esima e la colonna j-esima.
Allora si dice matrice dei complementi algebrici la matrice $C \in M_n(\mathbbK)$ così definita:
$\forall i,j \in {1,...,n}\qquad c_{ij}:=(-1)^{i+j}det(A_i^j)$.
Quindi a volte la matrice aggiunta è proprio $C$ o la sua trasposta, $^tC$.
Se $A$ è una matrice invertibile vale: $A^{-1}=1/(detA) * ^tC$.
Quindi nel caso di una matrice 2 x 2, vale:
$A=((a b),(c d)) C=((d -c),(-b a)) \qquad ^tC=((d -b),(-c a))$
Il tutto però funziona se si introducono delle basi ortonormali altrimenti no. Cioè:
se A è la matrice di un operatore lineare rispetto ad una base ortonormale, allora l'operatore aggiunto è rappresentato (sempre in quella base ortonormale) dalla coniugata trasposta. Ovvio che se prendiamo il prodotto scalare standard, allora la base standard è ortonormale rispetto ad esso. Però se la base di partenza non è ortonormale il tutto non funziona mica!
se A è la matrice di un operatore lineare rispetto ad una base ortonormale, allora l'operatore aggiunto è rappresentato (sempre in quella base ortonormale) dalla coniugata trasposta. Ovvio che se prendiamo il prodotto scalare standard, allora la base standard è ortonormale rispetto ad esso. Però se la base di partenza non è ortonormale il tutto non funziona mica!
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