Lacci omotopi al cammino costante in un sottospazio

[Angus1956]

Si faccia un esempio della seguente situazione: $X$ è uno spazio topologico, $Y$ è un sottospazio di $X$, $alpha$ è un cammino in $Y$ con punto base $x_0inY$ , $alpha$ è omotopo al cammino costante in $x_0$ se considerato come cammino in $X$, $alpha$ non è omotopo al cammino costante in $x_0$ se considerato come cammino in $Y$.
Ho fatto un disegno al riguardo scegliendo $X=D^1$ (disco unitario pieno) e $Y$ in figura:




Sicuramente si ha che $D^1$ è convesso e quindi ogni laccio è omotopo al cammino costante. Ora è da dimostrare che in $Y$ il cammino che ho disegnato non è omotopo al cammino costante. L'idea sarebbe che quel buco non permette di trovare un omotopia continua tra $alpha$ e il cammino costante (per l'appunto non è semplicemente connesso), ma non so come provarlo rigorosamente, qualcuno sa dirmi?

[megas_archon]

Beh, non vedo altro modo che non provare, o invocare, il fatto che il gruppo fondamentale di una corona circolare sia Z.